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专题49与角有关的等腰三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

(2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由．

【答案】(1)

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．

【答案】(1)2

(2)证明见解析

∴的长为2．

（2）证明：如图2，

∵点是的中点，

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，等角对等边，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

(3)如图2，若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】(1)答案见解析．

(2)答案见解析．

(3)不成立．理由见解析．

（3）证明方法同（1）得出（2）不成立．

∵为角平分线，

（2）如图，

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换求得结论．

???????

(1)点P是边上一动点．

(2)a

∵点P是中点，

（2）取的中点E，连接，如图，

当点M与点H重合时，点N与点E重合，

∴点N所经过的路径长为a．

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的有关知识是解题的关键．

【答案】(1)见详解

【答案】(1)见解析

(2)15

【点睛】本题主要结合等边三角形的性质，考查全等三角形的判定和性质，准确的作出辅助线是求解本题的关键．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

连接交于N，

（3）解：如图所示，延长交直线于点，

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键．

(2)如图2，当点P是的中点时，

②求的值．

【分析】(1)根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，计算即可．

(2)①根据等腰三角形的定义证明即可．

②利用圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数计算即可．

(3)利用圆周角定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数计算即可．．

∵是直径，

（2）①∵P是的中点，是直径，

∵是直径，

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，三角函数的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，灵活运用三角函数是解题的关键．

??

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行解答即可；

（2）解：①延长交于点G，如图所示：

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．

11．【基础巩固】

【尝试应用】

【拓展提高】

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．

【答案】(1)

(2)①见详解；②见详解；

∴D是中点．

【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

【答案】(1)见解析；

(2)5；

(3)，．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

②求的长．

【答案】(1)①见解析；②；

(2)．

∵是的中点，

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．

【答案】(1)证明见解析

(3)3或5

（3）根据题意，结合图形，即可求解．

如图②，理由如下：

答案：或．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

②探究（1）中的结论是否成立？并说明理由．

(2)①；；②成立；见解析

故答案为：；．

②成立．理由如下：

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形三角形的性质，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．

【答案】(1)见解析

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关