湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）数学试卷.docxVIP

长郡中学2025届高三月考试卷（四）

数学

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式可得集合，进而进行集合间的运算.

故选：B.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列的性质，结合充分性和必要性做出判断.

【详解】因为数列为等差数列，

因此，是的充分不必要条件.

故选：A

A.1B.C.2D.4

【答案】B

【解析】

故选：B

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可.

故选：C.

故选：C.

A.4B.C.3D.

【答案】D

【解析】

故选：D.

【答案】D

【解析】

【详解】解：如图所示：

以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

故选：D

A.B.C.2D.3

【答案】C

【解析】

故选：C

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

故选：D.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

【答案】AC

【解析】

故选：AC.

【答案】ACD

【解析】

故选：ACD．

【答案】ABC

【解析】

故选：ABC

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

【答案】

【解析】

故答案为：

13.第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼35A”模型的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用条件概率求解.

【详解】解：设第1位顾客抽中“歼35A”为事件，第2位顾客抽中“歼20S”为事件，

所以在第2位顾客抽到“歼20S”模型的条件下，第1位顾客抽到“歼35A”模型的概率为.

故答案为：

【解析】

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（1）求证：数列是等差数列；

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【小问1详解】

【小问2详解】

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

（2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值.

【小问1详解】

（1）求的标准方程；

（2）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.

【解析】

【小问1详解】

【小问2详解】

【解析】

【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值；

（2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可；

【小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】

（2）2（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2

【解析】

【小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】

不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数.

【点睛】关键点点睛：

在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决.