线性代数-2.5Gauss消元法与线性方程组的解.pptVIP

2.5Gauss消元法与线性方程组解2.5,1线性方程组概念1.线性方程组的相关概念：线性方程组：非齐次线性方程组，齐次线性方程组系数矩阵与增广矩阵线性方程组的解（解向量）；两个方程组的同解，一个线性方程组的通解。2.5Gauss消元法思想：通过线性方程组的初等变换到达逐步消元的过程。例2.21求解线性方程组解：第一步交换1,3两个方程位置，再将第2个方程减去第1个方程，第3个方程减去第1个方程的2倍，得到第2步：第2个方程两边同乘以1/2，再将第3个方程减去第2个方程得到：第3步：将第2个方程加到第1方程得到于是得1．上述解方程组的方法称为Gauss消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（2.14）的增广矩阵）的变换．变换如下最后一个矩阵对应的线性方程组为特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．最后一个矩阵是行阶梯形矩阵例2.22解线性方程组对增广矩阵初等行变换2.5.2线性方程组有解判别法1.线性方程组解的判定定理2.求解线性方程组的步骤3.线性方程组的相关定理设有n个未知数m个方程的线性方程组系数矩阵A是m×n矩阵,则线性方程组可以写成以表示成Ax=b。定理2.9线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A)=r(A,b).且在有解时，r(A)=n,解唯一，r(A)n时解有无穷多。设有n个未知数m个方程的齐次线性方程组系数矩阵A是m×n矩阵,则齐次线性方程组可以写成Ax=0。推论2.7齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)n;Ax=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。推论2.8设A是n阶矩阵，则Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0;Ax=0仅有零解的充要条件是|A|≠0.例2.24解齐次线性方程组解：这是齐次线性方程组，其增广矩阵的最后一列均为零，所以，只需要对系数矩阵初等行变换即可。系数矩阵A为同解方程组为令x3=t,则得到方程组的一般解为其中，t为任意常数。表明线性方程组有非零解。例2.27讨论?为何值时，线性方程组有唯一解，无解，无穷多解，此时求出一般解。解：系数行列式（1）当D≠0，即?≠1且?≠-2时，有克莱姆法则，方程组有唯一解。（2）当?=-2时，增广矩阵为方程组无解。（3）当?=1时，增广矩阵为线性方程组有无穷多解，同解方程组为其中k1，k2是任意常数。