线性代数中特征向量几何意义与变换分析.pdfVIP

特征向量的几何意义

特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不

讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向

量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效

果呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变

换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向

量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋

转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注

意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定

的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx,

你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方

向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标量且不为零)，所以所谓的特征

向量不是一个向量而是一个向量族，另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩

倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽

然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！

里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称

变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[10;0

-1]（分号表示换行），显然[10;0-1]*[ab]=[a-b]（上标表示取转置），这正是我们想要的效

果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量?想想什么向量在这个变换下保持

方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，

那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a0]（a不为

0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴

上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0b]（b不为0）也是其特征向量。

综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量

指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们了Spectraltheorem

（谱定律）的时候，情况就不一样了。

Spectraltheorem的内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的

特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成就是：

从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所

对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），

至此，特征值做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高

低掌握在我手中，你还吊什么吊？

我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这

个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张

开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特

征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以

代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，

通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特

别是空间几何）及其应用中得以发挥。

关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方

法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；

近的比如公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表

了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；