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高一数学必修内容重点知识总结

高中数学是一门逻辑性强、系统性严密的学科，高一阶段的必修内容更是整个高中数学的基础。扎实掌握这些知识，不仅能帮助同学们顺利应对当前的学习，更为后续的深入学习乃至高考奠定坚实的根基。本文将对高一数学必修内容中的重点知识进行梳理与总结，希望能为同学们的学习提供有益的指引。

一、集合

集合是现代数学的基本语言，是研究数学问题的基础工具。

1.集合的含义与表示

*集合元素的特性：确定性、互异性、无序性。这是判断一组对象能否构成集合的依据。

*集合的表示方法：

*列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来。适用于元素个数有限或元素间有明显规律的集合。

*描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般形式为{x|P(x)}，其中x是代表元素，P(x)是元素x所满足的条件。理解并正确运用描述法是重点。

*图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合，直观形象，常用于解决集合间的关系和运算问题。

2.集合间的基本关系

*子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A?B（或B?A）。规定：空集是任何集合的子集。

*真子集：如果A?B，且集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A?B（或B?A）。

*集合相等：如果A?B且B?A，则A=B。

3.集合的基本运算

*交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

*并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

*补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记作?UA，即?UA={x|x∈U且x?A}。理解补集的前提是明确全集。

学习提示：集合的运算可以结合Venn图进行直观理解，同时要注意空集在集合关系和运算中的特殊性。

二、函数概念与基本初等函数I

函数是高中数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的学习。

1.函数的概念与表示

*函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

*核心要素：定义域、对应关系、值域。（定义域和对应关系决定值域）

*函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围。常见的限制条件有：分式分母不为零；偶次根式被开方数非负；对数的真数大于零等。

*函数的表示法：解析法、图像法、列表法。

*分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。分段函数是一个函数，其图像要分段绘制。

2.函数的基本性质

*单调性：

*定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x?，x?，当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

*判断方法：定义法（取值、作差/作商、变形、定号、下结论）、图像法（看图像升降）。

*几何意义：增函数图像从左到右上升，减函数图像从左到右下降。

*奇偶性：

*定义：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做偶函数；如果对于定义域D内的任意一个x，-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)叫做奇函数。

*前提：定义域关于原点对称。

*图像特征：偶函数图像关于y轴对称；奇函数图像关于原点对称。

*最值：函数在定义域内取得的最大值或最小值。

3.指数函数

*指数幂的运算：掌握整数指数幂、分数指数幂的运算性质，以及根式与分数指数幂的互化。

*指数函数的定义：一般地，函数y=a?(a0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

*指数函数的图像与性质：

*当a1时，函数在R上单调递增；当0a1时，函数在R上单调递减。

*图像恒过定点(0,1)。

*定义域为R，值域为(0,+∞)。

4.对数函数

*对数的概念：如果a?=N(a0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log?N。

*对数的运算性质：如果a0,且a≠1，M0,N0，那么：

*log?(MN)=log?M+log?N

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