专题11三角形中的求值问题2022高三二轮热点题型专项突破.docxVIP

三角形中的求值

专题解析

1、求边的值2、求角的值3、求角的三角函数值4、探索三角形存在性

解题策略

1、求边的值

（1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）方程求解（4）方程组求解

2、求角的值

（1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）通过边求角（4）通过三角函数值求角

3、求角的三角函数值

（1）正弦定理直接求（2）余弦定理直接求（3）方程组

4、探索三角形存在性

方程或方程组有解

专项突破

类型一、求边值

分析：知三求三

可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，

分析：余弦定理找边关系

分析：角余弦算两次

故答案为：，．

分析：角的关系

故答案为：3，．

A．8，10 B．10，10 C．8，12 D．12，8

注：边的方程组

故选：．

（1）求角的大小；

注：边的方程组

注：边的方程组

故答案为：4

注：边的方程组

故答案为：，3．

【答案】

（1）

【分析】

（1）

（2）

∴BD的长为，AC的长为1．

∴BD的长为，AC的长为1．

注：边角的方程组

类型二、求角的值

注：通过边求余弦值求角

故答案为：3，．

注：通过边研究角

注：（2）注：通过三角方程求角、消元

【答案】（1）；（2）.

【答案】

（1）2

【分析】

（1）

①②联立得，

（2）

注：（1）借边（2）有边有角方程组求角

（延长BA，CD交与点E，在三角形EAD中计算同样给分）

类型三、求三角函数值

故答案为：．

（1）求a的值；

【点睛】

本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

练.(2021·南京、盐城一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C.

(1)求sinC的取值范围；

(2)若c＝6b，求sinC的值．

解(1)由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π得2B＋4C＝π，

∴B＝eq\f(π,2)－2C，∴A＝eq\f(π,2)＋C.

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0Aπ，,0Bπ，,0Cπ，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0\f(π,2)＋Cπ，,0\f(π,2)－2Cπ，,0Cπ，))

得0Ceq\f(π,4)，故sinC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).

(2)若c＝6b，则由正弦定理得sinC＝6sinB，①

由(1)知B＝eq\f(π,2)－2C，则sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2C))＝cos2C，②

由①②得eq\f(1,6)sinC＝cos2C＝1－2sin2C，

∴12sin2C＋sinC－6＝0，

解得sinC＝eq\f(2,3)或sinC＝－eq\f(3,4).

又sinC∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，∴sinC＝eq\f(2,3).

故答案为：，．

练.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.

(1)证明：BD＝b.

(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.

(1)证明因为BDsin∠ABC＝asinC，

所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b0，所以BD＝b.

(2)解如图，∠ADB＋∠BDC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠BDC＝0.

因为AD＝2DC，

可得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b))\s\up12(2)＋b2－c2,2·\f(2,3)b·b)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)))\s\up12(2)＋b2－a2,2·\f(b,3)·b)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,9)b2－c2))＋2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)b2－a2))＝0，

即eq\f(11,3)b2－c2－2a2＝0，又因为b2＝ac，所以2a2＋c2－eq\f(11,3)ac＝0，

两边同除以c2得2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)－eq\f(11,3)·eq\f(a,c)＋1＝0，解得eq\f(a,c