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专题训练01集合与常用逻辑用语

一、单选题

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不必要也不充分条件

【答案】D

如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，

故“当取定值，是定值”是错误的.

故“当取定值，是定值”是错误的.

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

故选：A.

【答案】D

【分析】先证明出A选项正确，从而说明C选项正确，BD选项根据定义求解即可.

故选：D.

【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A选项的证明是解题的关键.

【答案】A

【详解】当最小元素为，最大元素为时，集合有如下情况：

所以此类满足要求的子集元素个数之和：

②两式相加可得：

故选：A

【答案】D

故选：D

二、多选题

B．a，b，c，d中必有一个为1

【答案】BCD

【详解】由（1）得：数集中必有1或0，

下面证明C正确，

下面证明D正确；

因为的平方根有且只有2个，

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.

三、解答题

(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；

综上，的最小可能值为5.

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；

法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.

（3）法一：

法二：

9．我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：

再给出最优性的证明：分成两步进行.

第一步，调整集合.

这是因为:

断言二：总能在有限次“切换”后，使得对于中任意两个区间，它们要么不交，要么一个包含另一个，对于亦然.

对其它区间执行操作，那么总是包含操作后的区间.

第二步，加强归纳.

其中，不等号使用了奠基的结论.

至此，加强的命题得证!

（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.

【分析】(1)根据性质的定义判断可得出结论

所以得出的最大值.

分两种情况：

由①②，得

所以的最大值为4.

【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：

则必须用定义法或等差中项法进行证明.

【点睛】求解含有参数的一元二次函数在闭区间上的值域问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、对称轴、判别式、定义域等等.

充分性：

必要性：

（用反证法）

证毕.

（3）根据给定条件，利用放缩法并结合绝对值的三角不等式，等比数列求和推理作答.

【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.

(1)直接写出的两个元素及的元素个数；

(2)4

(3)证明见解析

【点睛】本题以新定义结合集合进行考查，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

(2)证明见解析；

(3)7个元素.

2

4

2

8

4

8

2

4

2

8

16

8

32

16

32

2

4

2

*

*

【点睛】关键点点睛：后两问，首先设出集合，根据题设集合的性质①列举出集合中可能元素，再结合集合的性质②，由中元素个数分类讨论确定所设元素的数量关系，即可得结果.

(1)直接写出生成数列的前4项；

(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；

（2）将命题当作条件代入进行证明，根据最终结论判断是否与原命题相悖判断真假；

故命题①为假命题；

又已知：

故命题②为假命题

③假设命题③成立，

故命题③为真命题

【点睛】方法点睛：对于新型数列，首先要了解