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高三数学复习重点专题讲义

前言

高三数学复习，绝非简单的知识重复，而是一场系统性的梳理、深化与拔高。本讲义旨在为同学们指明复习方向，聚焦核心专题，点拨思想方法，助力大家在有限的时间内实现高效复习，从容应对高考。讲义内容力求精炼，突出重点，注重实效，希望能成为同学们复习路上的得力助手。请务必结合自身实际情况，灵活运用，切忌生搬硬套。

专题一：函数的核心概念与性质

函数是贯穿高中数学的一条主线，也是高考考查的重中之重。此专题的复习，务必做到概念清晰，性质熟练，应用灵活。

1.1函数的概念与表示

深刻理解函数的定义，明确定义域、值域、对应法则是函数的三要素。定义域是研究函数一切性质的前提，必须优先考虑。常见的定义域限制如分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零等，要烂熟于心。函数的表示方法，特别是解析法、图像法和列表法，各有其特点，在解题中需根据需要灵活选用。求函数解析式的方法，如待定系数法、换元法、配凑法、方程组法等，要通过典型例题加以巩固。

1.2函数的基本性质

单调性、奇偶性、周期性是函数的核心性质，也是高考命题的热点。

*单调性：理解定义的两种等价形式，掌握判断函数单调性的方法（定义法、导数法、复合函数单调性法则、图像法）。单调性的应用极为广泛，如比较大小、解不等式、求最值等。

*奇偶性：把握其定义的代数特征（f(-x)与f(x)的关系）和几何特征（图像的对称性）。判断函数奇偶性时，务必先检查定义域是否关于原点对称。奇函数在原点有定义时，f(0)=0是一个重要的隐含条件。

*周期性：理解周期函数的定义，掌握常见的周期函数模型，能从函数的解析式或图像中识别周期，并利用周期性简化问题。

1.3基本初等函数

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数是构成复杂函数的基本单元。

*二次函数：作为最重要的初等函数之一，其图像、单调性、最值（含在给定区间上的最值）是考查重点，且常与一元二次方程、一元二次不等式紧密结合，形成综合性问题。要熟练掌握其三种解析式（一般式、顶点式、零点式）及其应用。

*指数与对数函数：理解其概念、图像和性质，特别是单调性与底数的关系。掌握指数、对数的运算性质，以及指数函数与对数函数互为反函数的关系。

*幂函数：了解几种常见幂函数的图像和性质，重点是α=1,2,3,-1,1/2时的情形。

1.4函数的图像

函数图像是函数性质的直观体现，“数形结合”思想在这里得到充分应用。要掌握基本初等函数的图像特征，并能根据函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性）以及图像变换（平移、伸缩、对称）规律，作出复杂函数的图像。反之，也能从函数图像中读取信息，分析函数的性质。

1.5函数与方程、不等式

函数、方程、不等式三者密不可分。函数的零点是连接函数与方程的桥梁，理解函数零点的定义，掌握零点存在性定理，并能结合函数的单调性判断零点的个数。利用函数的单调性解不等式，将不等式问题转化为函数值大小比较问题，是常用的解题策略。

专题二：导数及其应用

导数是研究函数性质、解决实际问题的有力工具，是高考的难点和热点，常以压轴题形式出现。复习时，要理解导数的本质，熟练掌握其运算和应用。

2.1导数的概念与几何意义

理解导数的定义（平均变化率到瞬时变化率的极限过程），掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单复合函数的导数。导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，这是导数应用的起点，务必掌握求切线方程的方法，注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”。

2.2导数在研究函数性质中的应用

这是导数应用的核心内容。

*单调性：利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。

*极值与最值：理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值和闭区间上最值的方法。求最值时，要注意极值点与区间端点函数值的比较。

*函数图像的凹凸性与拐点：了解二阶导数的符号与函数图像凹凸性的关系。

2.3导数的综合应用

导数常与函数、不等式、方程等知识结合，形成综合性较强的题目。

*利用导数证明不等式。

*利用导数研究方程根的个数。

*解决生活中的优化问题（建模、求导、求最值）。

在解决这些问题时，要注意分类讨论思想、数形结合思想的运用，以及运算的准确性。

专题三：立体几何

立体几何主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力。重点是空间点、线、面的位置关系，空间角与距离的计算。

3.1空间几何体的结构特征与三视图

熟悉柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形的三视图，并能根据三视图还原几何体。理解三视图中“长对正、高平齐、宽相等”的原则。

3.2空间点、直线、平面之间的位置关系

这是立体几何的理论基础。

*平面的