2025年全国中学生奥林匹克竞赛四川赛区初赛试题及答案 .pdfVIP

2025年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

（考试时间：2025年5月18日9:00〜11:00）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.已知数列｛。〃｝满足：％=1,%=I*?（gN，）,则向025=____.

1-3%

2.己知实数刀，〃满足：3m+3111=9,/7+log3（/7-l）=3,则m+〃的值为.

3.己知。。疽+、2=4，点F为椭圆r：—+=1的右焦点，过点作

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。。的切线与椭圆「交于刀、8两点.则MBF的周长为.

4.化简sin，20°+sin340°-sin380°,则其值为.

5.正四面体ABCD的棱长为4,空间动点户满^\PA+PB+PC+PD\=4,则

应・25的最大值与最小值之差为.

6.设复数z满足|z|=l,MiJ|z7+z5-3z3-3z|的最大值为.

7.记%=｛1,2,-,80｝,=｛（。力）1。力eX,且q+8在三进制加法下不进位｝,则集

合Y中的元素个数为・

8.正整数〃为“好数”，是指平面上存在10条直线，这些直线满足：无任何3条交于

一点，且它们一共出现〃个交点.则所有“好数〃的和为・

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤・

9.（本题满分16分）己知抛物线r：y=x2上三个不同点刀（1,1）、B、C满足:AB1AC.

过B、C分别作抛物线「的切线交于点F,求点P的轨迹方程.

10.（本题满分20分）设四面体ABCD满足：AD.BD、CZ）两两垂直，点0、H

分别是C的外心和垂心.

MD|2+|5D|2+|CD|2+|OD|2曰

求证：|业F+|跖F+|ch|Joh|2正定值.

11.（本题满分20分）给定奇质数p,设数列｛《｝满足：

f\~fi»且九+2=Zi+i+九（〃£N）•

求证：.

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2025年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

参考答案及评分标准

说明：

1、本试卷满分120,其中填空题64分，解答题56分.

2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和。分两档；第9题4分一个档

次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不

要再增加其它中间档次.

3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参

考本评分标准评分.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1、02、43、2^54、一-—5、86、应7、11358、819.

8

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

9、（本题满分16分）已知抛物线r：y=x2±三个不同点刀（1,1）、B、C满足：

AB1AC,过B、C分别作抛物线「的切线交于点P,求点P的轨迹方程.

解：设点B（xi,yl）,C（x2,y2\直线8C的方程为：y=kx+m,

联立\y=x2，消去*,

y=kx+m

得工2—kx—771=0,

由韦达定理知：X]+呵=k,xx2=-tn,

H+劣=皆+2〃，y^2=.-4分

由ABLAC知：ASJC=0,

（X]-1）（工2-1）+（V