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2025年矩阵相似题目及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.若矩阵\(A\)与矩阵\(B\)相似，则下列说法错误的是（）

A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值

B.\(A\)与\(B\)有相同的秩

C.\(A\)与\(B\)有相同的行列式

D.\(A\)与\(B\)一定相等

答案：D

2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}10\\02\end{pmatrix}\)，与\(A\)相似的矩阵是（）

A.\(\begin{pmatrix}20\\01\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}11\\02\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}10\\12\end{pmatrix}\)

答案：A

3.若\(n\)阶矩阵\(A\)可相似对角化，则\(A\)有（）个线性无关的特征向量。

A.\(n-1\)

B.\(n\)

C.\(n+1\)

D.\(0\)

答案：B

4.设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则\(A^2\)的一个特征值和对应的特征向量分别为（）

A.\(\lambda^2\)，\(\xi\)

B.\(\lambda\)，\(\xi\)

C.\(\lambda^2\)，\(A\xi\)

D.\(\lambda\)，\(A\xi\)

答案：A

5.矩阵\(A\)与对角矩阵相似的充分必要条件是（）

A.\(A\)有\(n\)个不同的特征值

B.\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量

C.\(A\)的秩为\(n\)

D.\(A\)是实对称矩阵

答案：B

6.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，且\(A\)的特征多项式为\(f_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2\)，则\(B\)的特征值为（）

A.\(1,2,2\)

B.\(1,1,2\)

C.\(1,2\)

D.\(2,2\)

答案：A

7.已知矩阵\(A\)相似于矩阵\(B=\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\)，则\(|A|\)=（）

A.\(1\)

B.\(6\)

C.\(3\)

D.\(2\)

答案：B

8.设\(A\)是\(3\)阶矩阵，且\(A\)的特征值为\(1,-1,2\)，则\(|A-E|\)=（）

A.\(0\)

B.\(2\)

C.\(-2\)

D.\(4\)

答案：A

9.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，且\(A\)可逆，则（）

A.\(B\)不可逆

B.\(B\)可逆且\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)相似

C.\(B\)可逆但\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)不相似

D.无法确定\(B\)是否可逆

答案：B

10.设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，且\(P^{-1}AP=B\)，则\(A\)与\(B\)的关系是（）

A.等价

B.合同

C.相似

D.以上都不对

答案：C

多项选择题（每题2分，共10题）

1.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）

A.\(A\)和\(B\)有相同的迹

B.\(A\)和\(B\)有相同的特征多项式

C.\(A\)和\(B\)有相同的最小多项式

D.\(A\)和\(B\)的转置矩阵也相似

答案：ABD

2.下列矩阵中，哪些是可相似对角化的（）

A.实对称矩阵

B.有\(n\)个不同特征值的\(n\)阶矩阵

C.幂零矩阵

D.可逆矩阵

答案：AB

3.已知矩阵\(A\)相似于矩阵\(B\)，且\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，则（）

A.\(B\)的特征值也为\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)

B.\(|A|=|B|\)

C.\(r(A)=r(B)\)

D.\(A\)和\(B\)有相同的初