18.2.3正方形(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

18.2.3正方形

正方形的定义和性质

正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

5.面积为边长的平方或对角线平方的一半.

注意：

①既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

②正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

特殊四边形定义间的关系：

题型1：正方形的定义和性质

1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A．四边相等 B．对角线相等

C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分

【变式1-1】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A．对角互补 B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分 D．四边相等

【变式1-2】下列说法错误的是（）

A．正方形是特殊的菱形

B．菱形是特殊的平行四边形

C．正方形是特殊的矩形

D．矩形是特殊的菱形

题型2：正方形的性质与求角度

2.如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）

A．30° B．20° C．15° D．10°

【变式2-1】如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是度．

【变式2-2】．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE．并延长CE交AD于点F．若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

题型3：正方形的性质与求线段

3.如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（）

A．3 B． C．2 D．4

【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为．

【变式3-2】正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF＝CF+AE；

（2）当AE＝2时，求EF的长．

题型4：正方形的性质与求面积/周长

4.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）

A．7 B．3+ C．8 D．3+

【变式4-1】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）

A． B．2 C．+1 D．2+1

【变式4-2】如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（）

A．2 B．4 C．8 D．4

题型5：正方形旋转对称性的应用

5.边长为10cm的正方形ABCD绕对角线的交点O旋转到得到正方形OA′B′C′，如图所示，则阴影部分面积为（）

A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2

【变式5-1】如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（）

A． B． C． D．

题型6：正方形与探究数量关系

6.如图，点M为正方形ABCD的边AB（或BA）延长线上任意一点，MN⊥DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系？并加以证明．

【变式6-1】如图，四边形ABCD是正方形，G是直线BC上的任意一点，DE⊥直线AG于点E．BF⊥直线AG于点F．

（1）如图1，若点G在线段BC上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理由．

（2）若点G在CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．

（3）若点G在BC延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．

题型7：正方形性质综合应用

7.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．

求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．

【变式7-1】如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝45°．

（1）求证：MN＝BM+DN；

（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．

【变式7-2】如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝