运筹学B卷重点复习题及应用.docxVIP

运筹学B卷重点复习题及应用

——核心考点梳理与实践能力提升指南

引言

运筹学作为一门研究如何有效地组织和管理有限资源，以实现最优决策的学科，其理论与方法在现代管理、工程技术、经济金融等众多领域都有着广泛而深刻的应用。对于即将面临B卷考核的同学们而言，复习不仅要巩固核心概念和基本方法，更要注重理解其内在逻辑，并能结合实际问题进行灵活运用。本文将围绕B卷的重点内容，梳理核心知识点，解析典型习题，并探讨其实际应用场景，以期为同学们提供一份系统且实用的复习指南。

一、线性规划基础与模型构建

线性规划是运筹学的基石，也是B卷考察的重点。

核心知识点回顾

1.线性规划模型的构成：决策变量、目标函数、约束条件。

2.线性规划问题的标准形式：目标函数最大化，约束条件为等式，右端项非负，决策变量非负。

3.图解法：适用于两个变量的问题，通过绘制可行域和目标函数等值线找到最优解。理解可行域的构成（凸多边形/凸集）、最优解可能出现的位置（顶点）。

4.单纯形法：这是求解线性规划问题的核心算法。需要掌握单纯形表的构造、基可行解的转换、最优性检验（检验数）、以及如何处理人工变量（大M法或两阶段法）。

5.对偶理论：理解对偶问题的经济含义（影子价格），掌握对偶问题的构造方法，以及对偶理论的基本性质（弱对偶性、强对偶性、互补松弛性等）。

典型复习题解析

类型一：线性规划模型的建立

*情境：某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙两种原材料。每种产品的单位利润、对每种原材料的单位消耗以及原材料的总量限制均已知。如何安排生产计划，使工厂利润最大化？

*解析：这类问题的关键在于准确识别决策变量（A、B产品的产量）、目标函数（总利润最大化）和约束条件（原材料供应量限制）。务必注意单位的一致性和逻辑关系的准确性。建立模型后，还需检查是否为标准形式，若否，需进行转换。

*应用点拨：模型建立是解决实际问题的第一步，也是最关键的一步。在实践中，问题往往更复杂，可能涉及多个目标或更复杂的约束，但核心思想是一致的，即把实际问题转化为数学语言。

类型二：单纯形法的应用

*情境：给定一个具体的线性规划问题（通常变量不多于3个，约束不多于3个，以便手工计算）。

*解析：首先将问题化为标准型，引入松弛变量或人工变量。然后构建初始单纯形表，计算检验数。根据检验数判断当前解是否最优，若不是，选择进基变量（正检验数中最大者对应的变量）和出基变量（最小比值原则），进行迭代运算，直至所有检验数非正，得到最优解。注意理解每一步运算的几何意义和经济含义。

*应用点拨：单纯形法虽然在计算机时代更多由软件实现，但其思想方法对于理解线性规划的本质至关重要。在资源分配、生产调度等优化问题中，其原理广泛应用。

类型三：对偶问题与影子价格

*情境：已知原问题及其最优解，要求写出其对偶问题，并解释对偶变量的经济含义（影子价格）。

*解析：根据原问题的目标函数和约束条件，按照对偶规则写出对偶问题。影子价格代表了单位资源的边际价值，即当该种资源增加一个单位时，目标函数最优值的增加量。理解影子价格有助于企业进行资源定价、采购决策和投资分析。

*应用点拨：在企业运营中，影子价格可以指导管理者判断哪些资源是瓶颈，从而决定是否增加该资源的投入，以及投入的经济上限。

二、运输问题

核心知识点回顾

1.运输问题的数学模型：属于线性规划的特殊类型，具有产销平衡或产销不平衡两种情况。重点掌握产销平衡问题的求解。

2.表上作业法：这是求解运输问题的专用方法。包括：

*初始基可行解的确定：西北角法、最小元素法、伏格尔法（Vogel近似法）。伏格尔法通常能得到更接近最优解的初始方案。

*最优性检验：闭回路法和位势法（对偶变量法）。位势法计算更为简便。

*改进调整：当检验数出现负时，需进行调整，找到负检验数最小的非基变量作为进基变量，沿闭回路进行调整，确定调整量。

典型复习题解析

类型：运输问题的求解

*情境：给出一个产销平衡的运输表（产地、销地、产量、销量、单位运价）。

*解析：首先选择一种方法（如最小元素法或伏格尔法）确定初始调运方案。然后用位势法计算各非基变量的检验数，判断是否最优。若存在负检验数，则进行闭回路调整，直至所有检验数非负，得到最优调运方案和最小总运费。

*应用点拨：运输问题广泛存在于物流配送、物资调运、供应链管理等领域。实际问题中可能涉及到转运、运力限制等更复杂情况，但其基本思想是优化物资的空间移动成本。

三、整数规划

核心知识点回顾

1.整数规划的类型：纯整数规划、混合整数规划、0-1整数规划。

2.0-1整数规划的应用：是重点。如选址问题、指派问题、互斥方案的选择等。掌握0-1变量的设置技巧。