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一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
解析：（1），；（2）或；（3）见解析
【分析】
（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；
（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；
（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．
【详解】
解：（1）S△OPA=，则点A是线段OP的“单位面积点”，
S△OPB=，则点B不是线段OP的“单位面积点”，
S△OPC=，则点C是线段OP的“单位面积点”，
S△OPD=，则点D不是线段OP的“单位面积点”，
（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，
∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，
∴点G的横坐标为0，
∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，
当为单位面积点时，
当为单位面积点时，
综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；
（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，
∴S△PQM=1，S△PQN=1，
∵P（1，0），Q（1，-2），
∴PQ=2，
∴M，N的横坐标为0或2，
∵点M在HQ的延长线上，
∴点M的横坐标为xM=2，
∵S△HMN≥S△PQN，
∴S△HMN≥，
当xN=0时，S△HMN=，
则，
∴或；
当xN=2时，S△HMN=，
则，
∴或．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，且
（1）求；
（2）若为直线上一点．
①的面积不大于面积的，求P点横坐标x的取值范围；
②请直接写出用含x的式子表示y．
（3）已知点，若的面积为6，请直接写出m的值．
解析：（1）4；（2）①或；②；（3）或．
【分析】
（1）先根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，从而可得点的坐标和的长，再利用直角三角形的面积公式即可得；
（2）①分和两种情况，先分别求出和的面积，再根据已知条件建立不等式，解不等式即可得；
②分和两种情况，利用、和的面积关系建立等式，化简即可得；
（3）过点作轴的平行线，交直线于点，从而可得，再分、和三种情况，分别利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得，
，
，
轴轴，
；
（2）①的面积不大于面积的，
的面积小于的面积，
则分以下两种情况：
如图，当时，
则，，
因此有，
解得，
此时的取值范围为；
如图，当时，
则，，
因此有，
解得，
此时的取值范围为，
综上，点横坐标的取值范围为或；
②当时，则，，
由（2）①可知，，
则，
即；
如图，当时，则，
，，
，
，
解得，
综上，；
（3）过点作轴的平行线，交直线于点，
由（2）②可知，，
则，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，
则，
，
解得，不符题设，舍去；
②如图，当时，
则，
，
解得或（不符题设，舍去）；
③如图，当时，
则，
，
解得，符合题设，
综上，的值为或．
【点睛】
本题考查了偶次方和绝对值的非负性、坐标与图形等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，其中满足，D为直线AB与轴的交点，C为线段AB上一点，其纵坐标为.
（1）求的值；
（2）当为何值时，和面积的相等；
（3）若点C坐标为（-2,1），点M（m，-3）在第三象限内，满足，求m的取值范围.
（注：表示的面积）
解析：（1）；（2）当时，和面积的相等；（3）m的取值范围是
【分析】
（1）利用非负数的性质求出a，b，c即可．
（2）设点D的坐标为（0，y），根据面积关系，构建方程求出y，再根据△BOC和△AOD面积的相等，构建方程求出t即可．
（3）分两种情形：①当-2＜m＜0时，如图1中，②当m≤-2时，如图2中，根据S△MOC≥5，构
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