压轴题07 二次函数中三种面积最值问题（解析版）-2025数学常考压轴题上册九年级人教版.docxVIP

压轴题07二次函数中三种面积最值问题

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

题型一、三角形面积最值 2

题型二、四边形面积最值 9

题型三、面积和差最值 18

压轴能力测评（17题） 27

二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：

一般步骤为：①设出要求的点的坐标；

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意．

2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：

一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；

②通过已知点的坐标，求出直线解析式；

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意．

题型一：三角形面积最值问题

【例1】．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线与x轴交于不同的两点．

(1)求的取值范围；

(2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P的坐标；

(3)设抛物线与轴的两个交点分别是A，B，当时，的面积是否有最大值或最小值？若有，求出该最大值或最小值及对应的的值；若没有，请说明理由．

【答案】(1)且

(2)证明见解析；

(3)的面积有最大值，最大值为，此时，的面积无最小值

【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标

【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键：

（1）根据根的判别式求出m的取值范围：

（2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为，令，求出x的值，即可求解；

（3）先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，可得，再由，可得，从而确定AB的取值范围，求得的面积为，从而得解．

【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点，

∴方程有两个不相等的实数根，

∴，且，

∴且，

解得：且，

∴的取值范围是：且；

（2）解：∵

∴，

即，

令，

解得：，

当时，，此时抛物线过点；

当时，，此时抛物线过点1,0(舍去)；

∴该抛物线经过象限内的某个定点P，点P的坐标为；

（3）解：的面积有最大值，无最小值．

当时，，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴当时，有最大值，最大值为，

根据题意得：的面积为，

∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时．

AB无最小值，的面积无最小值．

【变式1】．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，抛物线与轴相交于点，交轴于点，点是线段上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连接，求四边形面积的最大值．

【答案】(1)；

(2)．

【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式

【分析】（）运用待定系数法求抛物线解析式即可；

（）先求出点的坐标为，用待定系数法求到直线的函数表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，求出四边形面积，然后用二次函数的最值即可；

本题考查了利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，求不规则图形的面积，坐标与图形，熟练掌握求不规则图形的面积的方法是解题的关键．

【详解】（1）根据题意，得，

解这个方程组，得，

∴抛物线的函数表达式为；

（2）当时，，

∴点的坐标为，

设直线的函数表达式为，则，

，解得，

∴直线的函数表达式为，

设点的坐标为，则点的坐标为，

∴，

∴，

，

，

，

，

因为，

∴当时，最大，最大值为．

【变式2】．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交x轴于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

(3)点P在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式

【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与不等式．

（1）由直线与x轴交于点A可得点A的坐标，代入抛物线中可得，由抛物线的对称轴为直线可得，解方程组即可得到a，b的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）求出点A，点B的坐标，结合图象根据二次函数与不等式的关系即可求解；

（3）设点P的坐标为（），过点P作轴，交于点Q，可得，从而，根据二次函数的性质即可求解．

【详解】（1）∵直线与x轴交于点A