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2025年云南高数二专升本考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)f(b)0，则根据零点定理，函数f(x)在区间(a,b)内（）

A.至少有一个零点

B.最多有一个零点

C.没有零点

D.无法确定

答案：A

解析：根据零点定理，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，且在两端点的函数值异号（f(a)f(b)0），那么这个函数在开区间(a,b)内至少有一个零点。

2.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)=0的解。

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=1和x=3

答案：D

解析：求导得到f(x)=3x^212x+9。令f(x)=0，解得x=1和x=3。

3.设函数f(x)=e^xsin(x)，求f(x)。

A.e^x(sin(x)+cos(x))

B.e^x(sin(x)cos(x))

C.e^x(2sin(x))

D.e^x(2cos(x))

答案：A

解析：f(x)=e^x(sin(x)+cos(x))，f(x)=e^x(sin(x)+cos(x))+e^x(cos(x)sin(x))=e^x(sin(x)+cos(x)+cos(x)sin(x))=e^x(2cos(x))。

4.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)在x=1处的切线方程。

A.y=2x1

B.y=2x

C.y=2x+1

D.y=0

答案：A

解析：f(x)=2x2，f(1)=0。切线斜率k=f(1)=0，切线方程为y0=(2x2)(x1)，化简得y=2x1。

5.设函数f(x)=ln(x)，求f(10)。

A.1

B.ln(10)

C.10

D.100

答案：B

解析：f(10)=ln(10)。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(x)0，则函数f(x)在区间[a,b]上是单调______。

答案：递增

2.求极限：lim(x→0)(sin(x)/x)=_______。

答案：1

3.设函数f(x)=x^2+3x+2，求f(1)=_______。

答案：0

4.求积分：∫(x^2+1)dx=_______。

答案：x^3/3+x+C

5.求不定积分：∫(1/x)dx=_______。

答案：ln|x|+C

三、解答题（每题25分，共50分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值。

答案：f(x)在x=1处取得最大值6，f(x)在x=2处取得最小值4。

解析：f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0和x=2。比较f(1)，f(0)，f(2)，f(5)的值，可得最大值和最小值。

2.求解不等式：e^x2x。

答案：x0。

解析：令f(x)=e^x2x，f(x)=e^x2。令f(x)=0，解得x=ln(2)。f(x)在x=ln(2)处取得最小值，且f(x)在x=0处为正。因此，不等式e^x2x的解为x0。