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2025平面向量知识点总结及部分训练题(3篇)

平面向量知识点总结及训练题第一篇

背景

平面向量是高中数学的重要内容，它是沟通代数与几何的桥梁，在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。在高中数学教学中，平面向量不仅是培养学生逻辑思维能力和运算能力的重要载体，也是解决几何问题和实际问题的有力工具。随着课程改革的推进，对平面向量知识的考查更加注重其综合性和应用性，要求学生能够灵活运用向量的概念、运算和性质来解决各种问题。

主要知识点总结

1.向量的基本概念

向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，如\(\overrightarrow{AB}\)，向量的大小即模，记作\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)。

零向量：长度为\(0\)的向量，记作\(\overrightarrow{0}\)，方向任意。

单位向量：模为\(1\)的向量，与非零向量\(\overrightarrow{a}\)同向的单位向量为\(\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行。

相等向量：长度相等且方向相同的向量。

2.向量的线性运算

加法：三角形法则和平行四边形法则。\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)（三角形法则）；以同一点\(A\)为起点的两个已知向量\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AD}\)为邻边作平行四边形\(ABCD\)，则以\(A\)为起点的对角线\(\overrightarrow{AC}\)就是\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AD}\)的和（平行四边形法则）。加法满足交换律\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)和结合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。

减法：\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)，即终点向量减去起点向量。

数乘：实数\(\lambda\)与向量\(\overrightarrow{a}\)的积是一个向量，记作\(\lambda\overrightarrow{a}\)，\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)。当\(\lambda\gt0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同；当\(\lambda\lt0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。数乘满足结合律\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)，分配律\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)，\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)。

3.向量的共线定理

向量\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0})\)与\(\overrightarrow{b}\)共线的充要条件是存在唯一实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)。

4.平面向量基本定理

如果\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}