期末复习专题七：统计与概率解答题常见题型梳理答案-A4.docxVIP

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期末复习专题七：统计与概率解答题常见题型梳理

题型1：统计与概率综合问题

题型2：古典概型

题型3：相互独立事件的概率问题

题型4：概率与其他知识交汇问题

题型1：统计与概率综合问题

在知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；

(2)从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.

【解析】（1）由频率分布直方图得：，

解得，所以分数内的频率为.

本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）.

（2）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分；

设中位数为，则，解得，所以中位数为分.

某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.

(1)求居民月收入在的频率；

(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？

【解析】（1）月收入在的频率为：

∴居民月收入在的频率为0.15.

（2），

，

，

，

∴样本数据的中位数为

∴样本数据的中位数为2400元.

（3）居民月收入在的频率为：

，

∴10000人中月收入在的人数为：

，

再从10000人中分层抽样方法抽出100人，

则月收入在的这段应抽取：

，

∴月收入在的这段应抽25人.

为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.

(1)求a的值；

(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）；

(3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）.

【解析】（1）由，解得.

（2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x，

因为，，故中位数位于内，

则有，解得.

所以中位数为67.69.

这次数学考试的平均成绩为

.

（3）成绩小于70分所占的比例为，

成绩小于80分所占的比例为，

所以第70的分位数在内，

所以第70的分位数为.

在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.

（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.

（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.

【解析】（1）由，解得，

因为小时，

所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.

（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，

由题意知，即求60百分位数，又，，

所以60百分位数位于18~22之间，

设60百分位数为，则，解得小时.

故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.

（3）易知，5名学生中，

优秀有人，设为，

良好有人，设为，

合格有人，设为.

任选3人，总共有，10种情况，

其中符合的有，共4种，

故概率为.

某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.

(1)求选取的市民年龄在内的人数；

(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；

(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.

【解析】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，

故年龄在内的市民人数为.

（2）平均数为

32.25;

前三组的频率和为，

第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，

第80百分位数为.

（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，

所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，

所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.

记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.

其中