课时2空间向量的数量积运算导学案高二上学期数学人教B版选择性.docxVIP

1.1.1课时2空间向量的数量积运算

【学习目标】

1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影的概念.(数学抽象)

2.理解空间向量的数量积的运算律(交换律和分配律)，并可以与数的乘法相联系与区别.(数学运算)

3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算)

【自主预习】

1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些?

2.空间向量的线性运算满足哪些运算律?

3.空间向量夹角的取值范围是多少?如何定义空间向量的垂直?

4.类比平面向量的数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算?

5.类比平面向量的数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律?

6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角?

1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积是实数.（）

(2)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等.（）

(3)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)·c=a·(b·c).（）

(4)(3a+2b)·(3a2b)=9|a|24|b|2.（）

2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=12，则两直线的夹角为（）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

3.(人教B版选择性必修第一册P12练习BT4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.若E，F分别是OA，OC的中点，则下列结论正确的是（）.

A.OA·OB=1

B.EF·AO=1

C.EF·AC=1

D.EF·CB=1

4.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2ij+k，b=i+j3k，则a·b=______.

【合作探究】

探究1空间向量的夹角

如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角.

为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了向量“数量积”的概念.

问题1：θ是哪两个量的夹角?

问题2：任意两个向量的数量积是向量吗?两个向量的数量积一定是非负数吗?

问题3：如图所示，空间四边形的各边和对角线长均等于1，E是BC的中点，则下列说法正确的有哪些?

(1)AE·BC0；(2)AB·BC=AB·AC；(3)AE·BC=ED·BC.

问题4：若两个向量的夹角为0或π，则这两个向量分别是什么关系?

1.定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则______叫作向量a，b的夹角，记作______.

2.范围：a，b∈______.特别地，当a，b=0时，两个向量a，b同向共线，当a，b=______时，两个向量a，b反向共线，所以若a∥b，则a，b=______；当a，b=π2时，两个向量a，b互相______，记作______

例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，

(1)求BC1与AC

(2)求A1D与B

【方法总结】求两个向量夹角的方法

先根据题设条件将一个向量平移到另一个向量所在的平面内，然后解三角形求解.

已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=0，AC·AD=0，AB·AD=0，M为BC的中点，则AM与AD的夹角是______.

探究2空间向量数量积及其性质

问题1：两个向量的数量积与数乘向量有何不同?

问题2：“若a·b=a·c，则b=c”，这种说法正确吗?

问题3：数量积的运算不满足结合律吗?

已知两个______向量a，b，则______叫作向量a，b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b=______.零向量与任意向量的数量积为______，即0·a=______

a⊥b?______；a·a=|a||a|cosa，a=______=______

(λa)·b=______(λ∈R)

a·b=b·a(交换律)

(a+b)·c=______(分配律)

例2：如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，E，F分别是OA，OC的中点.求下列向量的数量积：

(1)OA·OB；

(2)EF·CB；

(3)(OA+OB)·(CA+CB).

【变式设问】若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长.

【方法总结】在几何体中，求空间向量的数量积的步骤：

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；

(3)代入公式a·b=|a||b|cosa，b求解.

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，Q是棱BC上的动点，P是棱B1C1上的动点，AB=BC=2，AA1=1.

(1)求AC1·

(2)求DP·AQ的取值范围.

探究3投影与投影的数量

我们在测量树