第二章一元二次函数方程和不等式（知识清单8大易错训练）.docxVIP

第二章一元二次函数、方程和不等式

清单01两个实数的大小比较

1、比较大小基本方法

关系

方法

做差法与0比较

做商法与1比较

2、不等式的性质

性质

性质内容

对称性

传递性

可加性

可乘性

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

3.、不等式的大小比较方法

（1）作差法比较大小的步骤

①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论.

（2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤

①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论.

注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

清单02基本不等式

1、基本不等式

2、基本不等式的变形

3、利用基本不等式求最值

4、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.

一正:各项都必须为正数;

二定:和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;

三相等:等号能取到,即取得最值的条件能满足.

清单03一元二次不等式的概念

1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

3、一元二次不等式的解与解集

使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．

3、二次函数的零点

4、三个“二次”之间的关系

5、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是:

（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;

（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;

（4）画出对应的二次函数的简图;

（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.

6、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.

7、一元二次不等式在R上恒成立的问题

8、分式不等式的解法

各标准形式的分式不等式的解法为:

由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.

定义

名称

符号

闭区间

开区间

半闭半开区间

半开半闭区间

【易错01：忽略不等式成立的条件】

【答案】AC

【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C.

故选：AC

【针对训练】

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项.

故选：D.

【答案】C

【分析】由不等式的性质逐项判断即可.

故选：C.

【易错02：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围】

1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．

2、解决思路

一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.

3、解决步骤

第二步：列方程组，求出m，n的值.

第三步：分别求出和的取值范围．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断.

故选：ACD.

【针对训练】

【答案】D

故选：D.

【易错03：忽略基本不等式成立的条件】

1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

【典例】（多选题）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（）

【答案】ACD

故选：ACD.

【针对训练】

1．（多选题）下列说法正确的是（????）

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

故选：ACD

【易错04：多次使用基本不等式注意等号成立是否一致】

连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.

【典例】已知m0，n0，则当81m

A．12 B．32 C．52

【答案】D

【分析】直接利用基本不等式用即可得解.

【详解】由m0，n

当且仅当9m

故选：D.

【针对训练】

【易错05：忽略二次项系数为0】

解形如ax2＋bx＋c0类型的不等式的步骤首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当a0时，利用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集）；若不能分解因式，需