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五年级数学奥数思维训练讲义

引言：数学思维的奇妙世界

亲爱的同学们，当你们在课堂上掌握了基础的数学知识，是否曾对那些更具挑战性、更富趣味的数学问题充满好奇？奥数，并非高不可攀的难题，它更像是一把钥匙，能帮助我们打开数学思维的奇妙大门。五年级，正是我们思维发展的关键时期。通过有针对性的奥数思维训练，我们不仅能巩固已学的知识，更能培养敏锐的观察力、严谨的逻辑推理能力、灵活的解题思路和坚持不懈的探索精神。这份讲义，希望能成为你们探索数学奥秘的良师益友，引领你们感受数学的魅力，享受思考的乐趣。

一、核心思维方法：点亮智慧的灯塔

在解决奥数问题时，掌握一些核心的思维方法至关重要。它们如同灯塔，能在我们面对复杂问题时指引方向。

1.1转化与化归——化繁为简的智慧

精髓：将一个陌生的、复杂的问题，通过某种方式转化为我们熟悉的、简单的问题来解决。这是数学中最常用也最重要的思想之一。

举例说明：

比如，我们遇到一个求不规则图形面积的问题，直接计算很困难。这时，我们可以尝试通过“割补法”，将其转化为几个我们学过的基本图形（如长方形、三角形）的面积之和或差，问题就迎刃而解了。再比如，有些应用题，直接思考数量关系比较绕，我们可以尝试将文字信息转化为线段图，或者将题目中的“未知量”暂时看作“已知量”来分析。

小试牛刀：一根绳子，第一次用去一半多1米，第二次用去剩下的一半少1米，还剩3米。这根绳子原来有多长？（提示：从结果倒推试试看，这也是一种转化哦！）

1.2数形结合——直观与抽象的桥梁

精髓：“数”与“形”是数学的两个基本方面。许多抽象的数量关系，一旦与图形结合起来，就会变得直观易懂；同样，一些复杂的图形问题，也可以通过数量的计算来精确求解。

举例说明：

在解决和差倍问题时，画线段图是我们的好帮手。比如“甲数是乙数的3倍，甲乙两数的和是20，求甲乙两数各是多少？”通过画出表示乙数的1段线段和表示甲数的3段线段，我们能清晰地看到“和20”对应的是4段线段，从而轻松求出每段线段代表的数值。行程问题中的相遇、追及，也常常需要借助线段图来分析路程、速度与时间的关系。

小试牛刀：一个长方形的周长是20厘米，长比宽多2厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？（提示：先用周长求出长与宽的和，再结合差的关系，画线段图分析。）

1.3分类讨论——全面思考的习惯

精髓：当一个问题包含多种可能性，不能一概而论时，我们需要按照一定的标准将其分解成若干种情况，然后逐一进行分析和解决，最后综合各种情况的结果得出结论。这能帮助我们做到不重复、不遗漏。

举例说明：

在解决“一张纸上有三个点，能确定几条直线？”这个问题时，我们就要考虑：如果三个点在同一条直线上，那么只能确定1条直线；如果三个点不在同一条直线上，那么能确定3条直线。所以答案有两种情况。在数字排列、图形计数等问题中，分类讨论思想尤为重要。

小试牛刀：一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，这样的两位数有哪些？（提示：按十位数字的不同来列举。）

1.4假设与验证——探索真理的阶梯

精髓：面对未知的问题，我们可以先根据已有的知识和经验，做出合理的假设，然后根据假设进行推理和计算，看是否能得到符合题意的结果。如果不行，再调整假设，直至找到正确答案。

举例说明：

“鸡兔同笼”问题是运用假设法解决的经典范例。我们可以假设全是鸡，或者全是兔，然后根据脚的数量差异进行调整，从而求出鸡和兔的只数。这种方法不仅能解决鸡兔同笼，还能解决许多类似的“头同脚不同”或“脚同头不同”的问题。

小试牛刀：停车场上停了一些自行车和三轮车，共有轮子20个，自行车和三轮车可能各有多少辆？（提示：可以假设全是自行车开始尝试。）

1.5归纳与递推——发现规律的眼睛

精髓：通过观察若干具体事例或简单情况，发现其中蕴含的共同特征或变化趋势，进而推广到一般情况，或者从已知条件出发，逐步推导出未知的结果。

举例说明：

对于“1，3，5，7，9，……”这样的数列，我们通过观察可以归纳出它的规律是“后一个数比前一个数大2”，从而可以推测出第n个数是多少。在解决一些逻辑推理问题时，我们也常常从已知条件入手，一步步推出结论。

小试牛刀：根据规律填空：1，4，9，16，25，（），（）。你能说出第10个数是多少吗？

二、常见问题类型与策略

五年级的奥数问题，往往是在基础数学知识上的延伸和拓展。我们来看看一些常见的问题类型及其应对策略。

2.1应用题（一）：和差倍问题的深化

和差、和倍、差倍问题是小学阶段重要的应用题类型。五年级我们可能会遇到更为复杂的情况，比如涉及三个量的和差倍，或者题目中的数量关系需要通过转化才能显露出来。

策略：

*关键在于找准“一倍量”或“标准量”。

*善用线段图，将抽象的文字转化为直观的图形。

*对于多个量的问题，可以