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6MATLAB数值积分

定积分：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分定义为其中

6.1数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

6.2数值积分的实现方法6.2.1变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad(fname,a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例1求定积分：(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad(fesin,0,3*pi)

6.2.2牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。

例2求定积分:(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8(fx,0,pi)

例3分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：formatlong;fx=inline(exp(-x));[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)调用函数quad8求定积分：formatlong;fx=inline(exp(-x));[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)

6.2.3被积函数由一个表格定义trapz(x,y)为梯形积分法，x表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数在x处的函数值，z返回积分值。例4用trapz函数计算定积分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.28579682416393

6.3二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。

例5计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)ki

triplequad(‘fun’,a,b,c,d,e,f)为三维矩形区域上的三重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限，e,f分别为z上、下限。其它命请同学们用help命令查阅详细信息及调用方法。

10/4/2025137MATLAB符号计算

10/4/2025147.1符号对象7.1.1建立符号对象1.建立符号变量和符号常量MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符