向量的坐标表示和空间向量.pptxVIP

２．３《向量的坐标表示和空间向量》

A(a,0,0)B(0,b,0)OxyzP(a,b,c)C(0,0,c)?Q(a,b,0)空間向量的坐標表示法則點P在x軸、y軸、z軸上的投影點分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。一、空間向量的坐標1.向量坐標：z軸上的單位向量設點P(a,b,c)，????

O1y3說明：5x2z4注意：6

A(1,2,3)B(4,3,1)C(2,–3,5)D(x,y,z)2.向量的長度：3.向量的相等：4.範例：空間坐標中，平行四邊形ABCD中，A(1,2,3)，解：B(4,3,1)，C(2,–3,5)，求D點坐標。則(x?1,y?2,z?3)=(?2,?6,4)?x=?1，y=?4，z=7。故D(?1,?4,7)。

5.範例：空間坐標中，A(2,1,?5)，B(8,?3,?2)，解：1馬上練習：空間坐標中，P(2,4,?3)，Q(7,?4,9)，2Ans：13。3解：4

範例：解：

馬上練習：Ans：解：

01向量的坐標運算：02證明：

證明：01範例：令A(?1,6,0)，B(3,?1,?2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，02若D為空間中一點，03解：令D(x,y,z)04求點D的坐標。05

證明：向量的平行：

範例：解：

解：馬上練習：Ans：

oo範例：解：(菱形的對角線即為分角線)

馬上練習：ooAns：解：

OPmnA(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)?證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，二、分點公式：1.分點公式：???

注意：設?ABC三頂點為A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，

C(?2,7,?6)B(0,1,?3)DA362.範例：?ABC中，A(2,3,?4)，B(0,1,?3)，C(?2,7,?6)，解：

C(2,2,1)B(5,2,2)AEook3k馬上練習：?ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，Ans：解：求E點的坐標。

3.範例：一正立方體如圖，DEFGBHCA?P解：

JAHFGBDEC馬上練習：一平行六面體如圖，J為BCGF的中心，Ans：解：?

01空間向量的內積：0203說明：04分別是x、y、z軸上的單位向量，

注意：

解：2.範例：設A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，馬上練習：設P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,?2,3)，Ans：解：

(1,3,0)(0,0,1)(1,3,1)HFBxzyCGA?PED3.範例：且?FPB=?，求cos?之值。解：將長方體放在坐標空間中，以D為原點。?

(0,1,1)DxyzEFGBHCA以D為原點。馬上練習：右圖是一個邊長為1的正立方體，且?HBG=?，求cos?之值。Ans：解：將正方體放在坐標空間中，(1,1,0)(0,0,1)

ACBH範例：設A(2,1,2)，B(?6,2,1)，C(3,?1,4)，求：解：

ABCH馬上練習：設A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，Ans：解：

柯西不等式：證明：

注意：

範例：已知三實數x，y，z滿足x2+4y2+9z2=3，求x+2y+3z的最大值，及此時的x，y，z的值。解：所以x+2y+3z有最大值3，此時等號成立，

解：馬上練習：已知三實數x，y，z滿足x2+2y2+3z2=6，求x+2y+3z的最小值，及此時的x，y，z的值。Ans：最小值?6，此時x=?1，y=?1，z=?1。所以x+2y+3z有最小值?6，此時等號成立，

xyz3.範例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和會有最小值？又其值是多少？解：設三角形的三邊長為x，y，z，?所求面積和=x2+y2+z2，且x+y+z=12，故x2+y2+z2有最小值48，此時等號成立，?此時x=y=z=4，即為正三角形。

馬上練習：已知三實數x，y，z滿足x+y+z=6，Ans：求(x?1)2+4y2+z2的最小值，及求此時的x，y，z的值。解：

xyzACBP653若P是?ABC內部的動點，(1)求6x+5y+3z之值。(2)求x2+y2+z2的最小值。解：(1)因為?ABC=?PAB+?PBC+?PCA，4.範例：由海龍公式得?

xyzACBP653?