空间向量与立体几何知识点归纳总结学生版.docVIP

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一.知识要点。

1。空间向量的概念：在空间，___＿＿__＿＿_______＿_＿___＿____＿__＿。

注：(１）向量通常用有向线段表达同向等长的有向线段表达同一或相等的向量。

(2)向量具备平移不变性.

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图）.

;;

运算律:⑴加法互换律:_＿＿_______________

⑵加法结合律：__＿_____＿＿____＿＿____＿

⑶数乘分派律:_______＿________＿____

运算法则:三角形法则、平行四边形法则、________________.

３。共线向量.

(1)假如表达空间向量的有向线段所在的直线＿_＿____＿___,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于,记作.

(２）共线向量定理：___＿_＿__＿____＿__＿__＿_____＿＿______＿＿______＿___＿_＿＿___。

(3)三点共线:Ａ、Ｂ、C三点共线=

〈＝

（4)与共线的单位向量为____＿__＿__。

４。共面向量。

（1）定义：__＿_______＿_＿_＿___＿___＿______＿___＿＿_＿_＿＿______.

阐明:空间任意的两向量都是共面的。

(２）共面向量定理:___＿＿__＿_＿_＿＿＿_____＿____＿__＿______＿__＿___＿_＿＿_＿__＿＿______。

（3）四点共面:若A、B、C、Ｐ四点共面＜=〉

＝〉

5。空间向量基本定理：假如三个向量不共面,那么对空间任一向量,___＿_＿____＿＿_____＿_＿＿____＿__＿_______＿＿_＿__＿____＿__＿_____。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个_______,叫做_____＿_,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数,使

6。空间向量的直角坐标系:

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作，叫_______，叫＿_____＿_,叫_______＿。

注:①点Ａ（x，y,z）关于x轴的的对称点为__＿_____＿,关于ｘoy平面的对称点为＿_＿_____。即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在___轴上的点设为(0，y，0）,在平面_＿___中的点设为(0,ｙ,z)。

(2)若空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为，这个基底叫_＿_____＿____，用表达.空间中任一向量＝_＿_____＿__。

(3)空间向量的直角坐标运算律:

①若,，

则，

,

,

,

,

.

②若,，则.

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表达这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③，三角形重心P坐标为

④ΔＡBＣ的五心:

内心Ｐ：内切圆的圆心，角平分线的交点．(单位向量）

外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

垂心Ｐ：高的交点：(移项,内积为0,则垂直）

重心P:中线的交点,三等分点（中位线比)

中心:正三角形的全部心的合一。

（４)模长公式:若,,

则，

(5）夹角公式：.

ΔAＢC中①〈=〉Ａ为锐角②〈=＞A为钝角，钝角Δ

(６）两点间的距离公式：若,，

则,

或

7.空间向量的数量积

(１)空间向量的夹角及其表达：已知两非零向量,在空间任取一点,作，则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有；若，则称与相互垂直，记作:。

（2)向量的模:设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：．

(3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积,记作，即.

(4)空间向量数量积的性质：

①。

②.

③.

（5)空间向量数量积运算律:

①。

②(＿＿____律）.

③（____＿律)。

④不满足乘法结合率:

二.空间向量与立体几何

1．线线平行两线的方向向量＿_＿_____

１—1线面平行线的方向向量与面的法向量＿＿_____＿

１—2面面平行两面的法向量___＿__＿___＿_

２线线垂直（共面与异面)两线的方向向量＿_＿_＿___

2—1线面垂直线与面的法向量_________

2-2面面垂直两面的法向量__＿_＿____＿

3线线夹角(共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角,

3-1线面夹角:求线面夹角的环节:先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角,即是线面的夹角。

３—2面面夹角(二面角):若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的