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即于是有是关于的线性方程组,称为法方程,第62页,共122页,星期日,2025年,2月5日由于线性无关,故系数矩阵的行列式非奇异,即于是方程组(1)有唯一解从而有第63页,共122页,星期日,2025年,2月5日以下证明必定满足最佳平方逼近的定义即但我们只需证明第64页,共122页,星期日,2025年,2月5日即上式第二项积分为零。于是可得即得必定是所求函数的最佳平方多项式。第65页,共122页,星期日,2025年,2月5日则要在Hn中求n次最佳平方逼近多项式此时若取第66页,共122页,星期日,2025年,2月5日若用H表示对应的矩阵,即即第67页,共122页,星期日,2025年,2月5日若用{1,x,…,xn}做基求最佳平方多项式,计算简单,但当n较大时,系数矩阵H是病态的,因此直接求解法方程是相当困难的,故通常是采用正交多项式做基底构造最佳平方多项式。则称H为希尔伯特(Hilbert)矩阵,若记向量则第68页,共122页,星期日,2025年,2月5日用正交函数族作最佳平方逼近设故法方程组第69页,共122页,星期日,2025年,2月5日为非奇异对角阵,且法方程的解为于是f(x)∈C[a,b]在 中的最佳平方逼近函数为 第70页,共122页,星期日,2025年,2月5日可得均方误差为由此可得贝塞尔(Bessel)不等式若f(x)∈C[a,b],按正交函数族 展开,而系数按下式计算得级数第71页,共122页,星期日,2025年,2月5日称为f(x)的广义傅立叶(Foureir)级数,系数称为广义傅立叶系数.是正交多项式,设可由正交化得到。则有下面的收敛定理;设f(x)∈C[a,b],S*(x)是由(3)给出的f(x)的最佳平方逼近多项式,其中是正交多项式族,则有第72页,共122页,星期日,2025年,2月5日下面考虑函数f(x)∈C[-1,1],按勒让得多项式{P0(x),P1(x),…,Pn(x)}展开,由(2),(3)可得其中根据(4),平方误差为此时由定理结论可得:第73页,共122页,星期日,2025年,2月5日对首项系数为1的勒让德多项式有以下性质定理:在所有最高次项系数为1的n次多项式中,勒让德多项式在[-1,1]上与零的平方误差最小。即可以理解为最小等价于与零的平方误差最小。第74页,共122页,星期日,2025年,2月5日证明:设Qn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式,它可表示为于是第75页,共122页,星期日,2025年,2月5日3.5.数据拟合的最小二乘法问题的提出:在函数的最佳平方逼近中,要求函数是连续的,而实际问题中常常见到函数只是在一组离散点上给定,即科学实验中常见到的实验数据的曲线拟和,例如天气预报系统即为此例。求拟和曲线时首先要确定所找的拟和曲线的形式,这不是单纯的数学问题,还与所研究问题的运动规律及所得观测的数据有关;通常要从问题的运动规律及给定数据描图,确定函数的形式,并通过实际计算得到较好的结果,这类方法就称为曲线拟和的最小二乘法。第76页,共122页,星期日,2025年,2月5日用4次多项式拟和以下数据x0=0:0.1:1;y0=[-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22];n=4;p=polyfit(x0,y0,n)xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,‘-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20)xlabel(x)ylabel(‘y)利用Matlab中的库函数进行拟和的数值例子:实验第77页,共122页,星期日,2025年,2月5日第78页,共122页,星期日,2025年,2月5日数据拟合方法与数据插值方法不同,它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数,插值方法求插值函数。这两类函数。对拟合函数不要求它通过所给的数据点,而插值函数则必须通过每一个数据点.最大的不同之处是例如,在某化学反应中,测得生成物的质量浓度y(10–3g/cm3)与时间t(min)的关系如表所示第79页,共122页,星期日,2025年,2月5日t12346810121416y4.006.418.018.799.539.8610.331
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