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高中数学函数应用题及详解

函数作为高中数学的核心内容，不仅是数学理论体系的重要组成部分，更在解决实际问题中扮演着不可或缺的角色。函数应用题将抽象的数学概念与鲜活的现实情境相结合，既能检验学生对函数知识的掌握程度，也能培养其分析问题和解决问题的能力。本文将通过对若干典型例题的详细剖析，梳理解决函数应用题的一般思路与方法，希望能为同学们提供有益的参考。

一、函数应用题的解题步骤概览

解决函数应用题，通常遵循以下几个关键步骤，这些步骤相互关联，构成一个完整的解题链条：

1.审题与理解：这是解题的基础。需要仔细阅读题目，明确问题的背景，理解文字描述的含义，找出已知条件和需要求解的目标。特别要注意挖掘题目中的隐含信息。

2.抽象与建模：将实际问题中的文字语言转化为数学语言，用数学符号、公式和图表等来描述问题。核心是建立函数关系，即确定哪个量是自变量，哪个量是因变量，以及它们之间满足何种函数表达式。这一步骤是解决应用题的关键，考验学生的数学抽象能力。

3.求解与计算：在建立函数模型后，根据题目要求，利用相应的数学知识（如求函数值、定义域、值域、最值，解方程或不等式等）对模型进行求解。计算过程要准确无误。

4.检验与作答：求得数学结果后，必须将其回归到原实际问题中进行检验，看是否符合实际意义（如自变量的取值范围、结果的合理性等）。最后，用简洁、准确的语言回答问题。

二、典型题型与详解

（一）一次函数与二次函数的应用

一次函数和二次函数是最基本也是应用最广泛的函数模型，常涉及成本、利润、面积、路程等问题。

例题1：成本与利润问题

某商店购进一批单价为a元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量m（单位：件）与销售单价x（单位：元/件，且x≥a）满足一次函数关系：当x=a+b时，m=c；当x=a+d时，m=e（这里b、c、d、e为题目给定的具体常数，为避免数字，此处用字母示意，实际解题时需替换）。若商店每天的固定成本为f元，试求：

（1）销售量m与销售单价x之间的函数关系式；

（2）商店销售该商品每天获得的利润y与销售单价x之间的函数关系式；

（3）当销售单价定为多少时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？

详解：

（1）建立销售量与单价的函数关系：

依题意，m与x成一次函数关系，故可设m=kx+n(k≠0)。

将已知条件代入：

当x=a+b时，m=c，有c=k(a+b)+n；

当x=a+d时，m=e，有e=k(a+d)+n。

联立这两个方程，可解得k和n的值（求解过程：两式相减消去n，求出k，再代入其中一式求出n）。

从而得到m关于x的一次函数表达式。注意，x的取值范围需根据实际情况确定，通常x≥a，且m≥0，由此可进一步限制x的范围。

（2）建立利润与单价的函数关系：

利润y等于总收入减去总成本。

总收入=销售单价×销售量=x*m。

总成本=固定成本+变动成本。此处变动成本=购进单价×销售量=a*m。

因此，y=x*m-(f+a*m)=(x-a)*m-f。

将（1）中求得的m的表达式代入上式，即可得到y关于x的函数关系式。此时，y通常是关于x的二次函数。

（3）求利润的最大值：

由（2）得到的y是关于x的二次函数，且二次项系数通常为负（因为售价过高会导致销量下降，利润反而减少），因此该函数图像开口向下，存在最大值。

可通过配方法或利用二次函数顶点公式x=-b/(2a)（此处a为二次项系数，b为一次项系数）求出使y取得最大值时的x值。

将此x值代入y的表达式，即可求得最大利润。

注意：求得的x值必须在（1）中确定的x的取值范围内，若不在，则需根据函数的单调性在区间端点处取得最值。最后，作答时需明确指出销售单价和最大利润的具体数值，并带上单位。

点评：此类问题的关键在于准确理解利润的构成，正确列出函数关系式，特别是成本的计算。对于二次函数最值，务必关注自变量的实际取值范围。

（二）指数函数与对数函数的应用

指数函数常用于描述增长速度快的量，如人口增长、细胞分裂、复利计算等；对数函数则常用于求解指数方程，或在一些涉及对数刻度的问题中应用。

例题2：增长率问题

某地区2023年初人口为p万人，根据统计数据，该地区人口年自然增长率为r（r为常数，0r1）。假设该地区每年的人口迁移情况忽略不计，试回答：

（1）写出该地区人口数y（万人）与年份t（t表示从2023年开始经过的年数，t=0表示2023年初）的函数关系式；

（2）预计经过多少年，该地区人口数将达到2023年初的q倍（q1）？（精确到整数年）

详解：

（1）建立人口增长的函数关系：

人