复变函数与积分变换试题及答案.docx

复变函数与积分变换试题

一、选择题（每题4分，共20分）

设复数z=\frac{1+i}{1-i}+2i，则|z|与\argz分别为（）

A.|z|=\sqrt{5}，\argz=\arctan2

B.|z|=\sqrt{5}，\argz=\frac{\pi}{2}

C.|z|=3，\argz=\arctan\frac{1}{2}

D.|z|=3，\argz=\frac{\pi}{4}

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是（）

A.u(x,y)与v(x,y)在D内具有一阶连续偏导数

B.u(x,y)与v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程

C.u(x,y)与v(x,y)在D内具有一阶连续偏导数且满足柯西-黎曼方程

D.u(x,y)与v(x,y)在D内可微

设C为正向单位圆周|z|=1，则积分\oint_{C}\frac{\sinz}{z-\frac{\pi}{2}}dz=（）

A.2\pii

B.0

C.2\pii\sin\frac{\pi}{2}=2\pii

D.\pii

幂级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n}的收敛半径R=（）

A.1

B.2

C.\infty

D.0

函数f(z)=\frac{z}{(z-1)(z+2)^2}在孤立奇点z=1处的留数\text{Res}[f(z),1]=（）

A.\frac{1}{9}

B.-\frac{1}{9}

C.\frac{2}{9}

D.-\frac{2}{9}

二、填空题（每题4分，共20分）

设z_1=3+4i，z_2=-2+i，则|z_1z_2|=，。

设f(z)在单连通区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线，z_0\inC内，则\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz=______。

函数f(z)=\frac{1}{1-z}在z=1处的泰勒展开式为______（注明收敛域）。

利用留数定理计算积分\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=______。

设L[f(t)]=F(s)，则L[t^2e^{3t}]=______。

三、计算题（每题10分，共40分）

计算复变函数积分\int_{C}|z|^2dz，其中C是从z=0到z=1+i的折线，即C=C_1+C_2，C_1：从z=0到z=1；C_2：从z=1到z=1+i。

求幂级数\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}的收敛域及和函数。

求函数f(z)=\frac{ze^{\frac{1}{z}}}{1-z}的孤立奇点，并计算在各孤立奇点处的留数。

求函数f(t)=te^{-t}的拉普拉斯变换，以及F(s)=\frac{1}{(s+2)^2}的拉普拉斯逆变换；并利用拉普拉斯变换求解微分方程y+2y+y=e^{-t}，初始条件y(0)=0，y(0)=1。

四、证明题（20分）

证明：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在单连通区域D内解析，且|f(z)|在D内恒为常数，则f(z)在D内恒为常数。

复变函数与积分变换试题答案

一、选择题

答案：A

解析：先化简z=\frac{1+i}{1-i}+2i，\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=i，所以z=i+2i=3i？不对，重新计算：\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{2i}{2}=i，则z=i+2i=3i，|z|=3，\argz=\frac{\pi}{2}，这