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2025年陕西高数二专升本练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞，0)

B.(0，+∞)

C.(∞，1)

D.(1，+∞)

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)0，解得x1或x1。故f(x)的单调递增区间是(1，+∞)。

2.设函数f(x)=e^x+e^(x)，则f(x)的极值点是（）

A.0

B.1

C.1

D.无极值点

答案：A

解析：求导得f(x)=e^xe^(x)，令f(x)=0，解得x=0。再求二阶导数f(x)=e^x+e^(x)，f(0)=20，所以x=0是f(x)的极小值点。

3.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)在区间[0，2π]上的最大值是（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

答案：D

解析：令t=x+π/4，则f(x)=√2sin(t)。在区间[0，2π]上，sin(t)的最大值为1，所以f(x)的最大值为√2。

4.设函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的拐点是（）

A.(0，1)

B.(1，0)

C.(1，1)

D.(2，1)

答案：C

解析：求导得f(x)=2x2，令f(x)=0，解得x=1。再求二阶导数f(x)=2，所以x=1是f(x)的拐点。

5.设函数f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，则f(x)的收敛域是（）

A.(∞，+∞)

B.[0，+∞)

C.(∞，0]

D.[0，1]

答案：A

解析：f(x)=(x1)^4，所以f(x)在整个实数域内收敛。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x^2+3x2的拐点是______。

答案：(1，1)

解析：求导得y=3x^26x+3，令y=0，解得x=1。再求二阶导数y=6x6，y(1)=0，所以(1，1)是拐点。

7.函数y=x^2e^x在x=0处的二阶导数是______。

答案：2

解析：y=2xe^x+x^2e^x，y=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=2e^x+4xe^x+x^2e^x。将x=0代入得y(0)=2。

8.定积分∫(0，π)sin(x)dx的值是______。

答案：2

解析：∫(0，π)sin(x)dx=cos(x)|(0，π)=cos(π)(cos(0))=2。

9.数列{x_n}的通项公式为x_n=n^2n+1，求该数列的极限是______。

答案：∞

解析：lim(x_n)=lim(n^2n+1)=∞。

10.已知函数f(x)=e^x，求f(10)(x)的值是______。

答案：e^x

解析：f(x)=e^x，f(x)=e^x，...，f(10)(x)=e^x。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

答案：单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(∞，0)和(2，+∞)；极大值为f(0)=4，极小值为f(2)=0。

解析：求导得f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0和x=2。根据f(x)的符号变化，可得f(x)的单调区间和极值。

12.计算定积分∫(0，2π)sin(x)cos(x)dx。

答案：0

解析：利用二倍角公式sin(2x)=2sin(x)cos(x)，将原式转化为∫(0，2π)sin(2x)/2dx，计算得0。

13.已知数列{x_n}的通项公式为x_n=1/n，求该数列的收敛域和极限。

答案：收敛域为(0，+∞)，极限为0。

解析：当n趋于无穷大时，x_n=1/n趋于0。故数列{x_n}的收敛域为(0，+∞)，极限为0。