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部分定理和的证明
1.两角差的余弦
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
[证明]如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终
边与单位圆O的交点分别为A，B．则→＝(cosα，sinα)，→＝(cosβ，sinβ)．
OAOB
→→
OAOB
由向量数量积的坐标表示，有·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sin
αsinβ.
设→→→→→→
OA与OB的夹角为θ，则OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2kπ＋β－θ.于是α－β＝2kπ
±θ，k∈Z.所以cos(α－β)＝cosθ.即cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
2.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
两倍．
222222222
即a＝b＋c－2bccosA，b＝c＋a－2cacosB，c＝a＋b－2abcosC.
→→→2222
CBCAAB
[证明]如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|＝(a－b)＝a－2a·b＋b＝
|a|2＋|b|2－2|a||b|cosC．即c2＝a2＋b2－2abcosC.
同理可证a2＝b2＋c2－2bccosA．b2＝c2＋a2－2cacosB．
3.等差数列的前n项和
设等差数列{a}的公差为d，前n项之和为S，
nn
Proofofpartialtheoremsand
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