高考数学一轮 第21讲 三角函数的性质（解析版） 教案.docxVIP

第21讲三角函数的性质

【知识点总结】

1.“五点法”作图原理

在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.

在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.

2.三角函数的图像与性质

在上

的图像

定义域

值域（有界性）

最小正周期

（周期性）

奇偶性（对称性）

奇函数

偶函数

单调增区间

单调减区间

对称轴方程

对称中心坐标

最大值及对应自变量值

时

时

最小值及对应自变量值

时

时

函数

正切函数

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数，图像关于原点对称

单调性

在上是单调增函数

对称轴

无

对称中心

3.与的图像与性质

（1）最小正周期：.

（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].

（3）最值

假设.

①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心.

假设.

①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.

（5）单调性.

假设.

①对于，

②对于，

（6）平移与伸缩

（，）的图象，可以用下面的方法得到：

=1\*GB3①画出函数的图象；

=2\*GB3②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；

=3\*GB3③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

=4\*GB3④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.

【典型例题】

例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确的是

A．

B．的图象关于点成中心对称

C．在R上单调递增

D．已知函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于原点对称

【答案】D

【详解】

根据函数的部分图象，，其中，，，

再根据五点法作图可得，，故，故A正确．

当时，，即的图象关于点成中心对称，故B正确．

，，故函数在R上单调递增，故C正确．

把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，

由于函数为非奇非偶函数，故它的图象不关于原点对称，故D错误，

故选D．

例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数的定义域为（）

A．（）

B．（）

C．（）

D．（）

【答案】B

【详解】

解：要使函数有意义，则，即，

即，，得，，

即函数的定义域为（）.

故选：B

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(ω0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，且ω0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.

故选：A.

例4．（2022·全国·高三专题练习）若在上是减函数，则的最大值是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

画出的图象如下图所示，由图可知，的最大值是.

故选：B

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由f(x)是偶函数，可得θ＋＝＋kπ，k∈Z，

即θ＝＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝.

故选：B．

（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（）

A． B． C．0 D．1

【答案】AC

【详解】

整理可得，

令，因为，则.

所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.

由图可知，或，解得或.

故选：AC.

例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个单位，可得下列哪些函数（）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】

将函数的图像向右平移个单位，得到，

而，

.

故选：BC.

例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数.

x

f(x)

（1）求函数在区间上的值域；

（2）用五点法在网格纸中作出在区间上的大致图象.

【详解】

（1）依题意，，

当时，，，

故，故，

故函数在上的值域为；

（2）当时，，，

列表如下：

0

0

0

作出图形如下所示：

例9．（2021·全国·高三专题练习）已知，函数．

（Ⅰ）若，求的单调递增区间；

（Ⅱ）若的最大值是，求的值．

【详解】

（Ⅰ）由题意

由，得．

所以单调的单调递增区间为，.

（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即，从而，又，

故．

例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图.

（1）求函数的解析式;

（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

【解析】

（1）由图象可知，的最大值为，最小值为，