yyf洛朗Laurent级数展开.pptxVIP

1解析延拓已知在b上解析的函数，可找到另一函数，使的解析区域B含有b，并且在b上等同于，此即为解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。定义：解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）Bb.12在b上解析，设用两种方法延拓到B上，得函数，可证明，与必完全等同。所以，可尽量用简单、特殊的方法进行延拓。

2§3.5洛朗（Laurent）级数展开已知：当f(z)在圆|z-z0|R内解析时，Taylor定理告诉我们，f(z)可展开成幂级数。考虑：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质,需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。

3负幂部分称为主要（无限）部分。一、双边幂级数（含有正负项）正幂部分称为解析（正则）部分；其中：

4收敛区域（环）的确定：收敛（圆）区域为令得R1z0|z-z0|R1正则部分负幂部分

5设即负幂部分在的圆外收敛由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性.规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.R2z0R2|z-z0|

6R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。讨论：1、若，则（1）式处处发散；2、若，则双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。

7正则部分主要部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环R2|z-z0|R1

8双边幂级数的性质定理1双边幂级数在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环上一致收敛。R2R1z0B

9设双边幂级数的收敛环B为R2|z-z0|R1，则定理2R2R1z0B(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内逐项可导；(3)在B内可逐项积分。

10（洛朗定理）定理3设函数f(z)在环状域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)必可展开成zCR1CR2R2R1z0C称为洛朗系数，c为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线（也可取圆周）。其中

11几点说明（2）洛朗系数因为成立的条件是在C内解析；（3）洛朗展开的唯一性；但在上，（即展开中心）（1）存在奇点（即内圆以内存在奇点）；可能不是的奇点，zCR1CR2R2R1z0C

12若在z0不解析（不可微或无意义），而在去心邻域内解析，则称z=z0是的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点，则称z0为的非孤立奇点。（4）定义

13在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导，在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分，在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域内的洛朗级数也具有。R2|z-z0|R1

14求洛朗展开式的系数洛朗展开式的系数用公式计算是很麻烦的,由洛朗级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展开,这样往往更便利(即间接展开法)。同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一般不同;由洛朗级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。

15举例例1：在z0=0的邻域上把展开。有孤立奇点z=0，并在解：内有无负幂项

16若定义实际上是对f(z)的解析延拓则为f1(z)的泰勒级数

17解：的奇点为，展开中心z0=0不是奇点，z0=1是奇点。例2：将分别在区域(环域);以及z0=1的邻域上展开为洛朗级数。（1）若在上，只可展开为泰勒级数，

18无穷多个负幂项（2）

19（3）展开中心z0=1，为奇点第一项已经是展开式的一项，对第二项，z=1不是奇点，z=-1是奇点，可在