第六章二次型.pptVIP

所求的满秩变换为相应的变换矩阵为将原二次型化为标准形第29页，共50页，星期日，2025年，2月5日（3）初等变换法构造矩阵，对每施以一次初等行变换，就对施行一次同种的初等列变换；当化为对角矩阵时，将化为满秩矩阵；得到满秩线性变换及二次型的标准形第30页，共50页，星期日，2025年，2月5日例3用初等变换法化例1中的二次型为标准形，并求所作的满秩线性变换.解二次型的矩阵为第31页，共50页，星期日，2025年，2月5日于是第32页，共50页，星期日，2025年，2月5日第33页，共50页，星期日，2025年，2月5日令则所求的满秩线性变换为将原二次型化为第34页，共50页，星期日，2025年，2月5日小结比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满秩线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的，但有两点是相同的：标准形中平方项的项数，即二次型的秩.标准形中正平方项和负平方项的项数.第35页，共50页，星期日，2025年，2月5日第1页，共50页，星期日，2025年，2月5日二次型及其矩阵表示矩阵合同在平面解析几何中，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质，可以坐标变换（二次曲线）（标准型）第2页，共50页，星期日，2025年，2月5日二次型定义及其矩阵表示定义1含有n个变量的称为二次型.二次齐次函数第3页，共50页，星期日，2025年，2月5日记则二次型可记作第4页，共50页，星期日，2025年，2月5日第5页，共50页，星期日，2025年，2月5日其中A为对称矩阵（）.第6页，共50页，星期日，2025年，2月5日二次型用矩阵记号写出来第7页，共50页，星期日，2025年，2月5日因此二次型一一对应对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.我们把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.第8页，共50页，星期日，2025年，2月5日例1已知二次型解二次型f的矩阵为由知，即的秩为2，求参数c.第9页，共50页，星期日，2025年，2月5日矩阵的合同对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换第10页，共50页，星期日，2025年，2月5日或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换（1）代入二次型，能使定义2（线性变换定义的扩充）的线性变换（1）的系数矩阵为记从变量到变量第11页，共50页，星期日，2025年，2月5日当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩(线性)变换（或非退化变换）.当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）变换（或退化变换）.当C是正交矩阵时，称（1）为正交变换.第12页，共50页，星期日，2025年，2月5日定义3设为两个阶方阵定理1若矩阵与合同，则与等价，合同性质：（1）反身性（2）对称性（3）传递性如果存在可逆矩阵，使则称矩阵与合同，或合同于.且第13页，共50页，星期日，2025年，2月5日例2设和为实对称矩阵，则由与相似可推出与合同，反之不然.证由与相似可知，与有相同的特征值又由和都是实对称矩阵可知，存在正交矩阵和使得和都与对角矩阵相似，即第14页，共50页，星期日，2025年，2月5日从而记，则由有于是，即与合同.第15页，共50页，星期日，2025年，2月5日反之，虽然都是实对称矩阵，且取有，即与合同.第16页，共50页，星期日，2025年，2月5日但由于对任意可逆矩阵故和不相似，反例说明，在所给条件下合同不一定相似.第17页，共50页，星期日，2025年，2月5日二、化二次型为标准形化二次型为标准形，就是对实对称矩阵（1）正交变换法定理1对于二次型