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离散偏差度量下均匀性与其他准则关系的深度剖析

一、引言

1.1研究背景与意义

在工农业生产和科学试验领域，尤其是在高科技飞速发展的当下，试验是推动各项研究与生产进步的关键环节。例如在新型材料研发中，需要通过试验确定不同成分比例对材料性能的影响；在药物研发中，要考察不同药物剂量、用药时间等因素对治疗效果的作用。如何科学合理地安排试验至关重要，它直接关系到试验的效率和成果。一项科学试验涵盖众多环节，包括选题、挑选考察因素及确定其变化范围、决定因素水平和试验水平组合、安排技术细节与组织工作以及处理试验数据等。其中，运用数学和统计学方法设计试验方案是极为重要的部分，统计试验设计便应运而生。

当统计试验中需要考察多个因素对试验结果的影响时，若有m个因素，每个因素有s个水平，那么全部的水平组合共有n=s^m个。若对所有水平组合都进行相同次数的试验，这种方法称为完全因析设计。当m及s都较小时，完全因析设计是可行的。然而，当全部水平组合数过大时，不仅实施完全因析设计难度大，而且从经济和效率角度考虑也没有必要，因为多数效应可能对试验结果的影响并不显著。因此，需要从众多水平组合中抽取部分有代表性的水平组合进行试验，这就是部分因析设计试验，正交设计和均匀设计是两种常用的部分因析设计方法。

正交设计要求任一因素的诸水平作相同数目的试验，且任两因素的水平组合作相同数目的试验。但从完全因析设计构造部分因析设计有多种方法，为了筛选出最优的部分因析设计，统计学家提出了不同的准则，如最小混杂准则和强度等。最小混杂准则最早由Fries和Hunter在1980年提出，用于比较、筛选二水平正规部分因析设计；之后，Tang和Deng于1999年提出最小G2混杂准则，用于一般的二水平部分因析设计；2001年，Ma和Fang以及Xu和Wu分别提出广义最小混杂准则，用于比较、筛选等水平和一般的部分因析设计。

均匀设计则要求试验点均匀地分布在试验区域里，均匀性度量标准在其构造中起着举足轻重的作用。伪蒙特卡洛方法中的许多偏差，如星偏差（即拟合最优检验中的Kolmogorov-Smirnov统计量）、中心化L_2偏差和可卷型L_2偏差等，都已用作均匀性的度量。Hickernell和Liu于2002年提出的离散偏差，作为一种新的均匀性度量，具有降低计算量的优势，并且在统计合理性方面有诸多文章进行讨论。研究表明，当用线性模型拟合数据时，离散偏差下的均匀设计能限制混杂现象带来的影响，为回归系数提供合理有效且稳健的估计。

离散偏差度量在试验设计中具有重要应用价值，研究其均匀性与其他准则的关系，有助于深入理解不同试验设计准则之间的内在联系，为优化试验设计提供更坚实的理论基础。通过明确这些关系，可以在实际试验设计中，根据具体需求更灵活、准确地选择合适的设计准则，提高试验效率和结果的可靠性，从而在工农业生产和科学试验中节省成本、提升质量。

1.2国内外研究现状

在国外，Hickernell和Liu于2002年率先提出离散偏差这一概念，并将其应用于均匀设计的均匀性度量，指出在离散偏差下的均匀设计能限制混杂现象对回归系数估计的影响。Liu和Hickernell在同年利用离散偏差评估超饱和试验设计，发现对于2水平的超饱和试验设计，离散偏差与文献中常用的E(s^2)准则得到的最优超饱和设计一致。Fang、Ma和Mukerjee在2002年针对2-水平或3-水平的因子设计，建立了正交性和均匀性之间的解析联系，并提出用新的准则来比较不同部分因析设计的正交性和强度。

在国内，李丹、罗幼喜和覃红在《对称因子设计的均匀性和正交性之间的关系》中，以离散偏差作为均匀性测度，深入研究了对称部分因子设计中正交性和均匀性的联系，证明了正交性两个准则之间的等价性，还得到了离散偏差的一个新下界。覃红和熊明在《混水平的均匀设计的构造》中，运用离散偏差度量部分因子设计的均匀性，成功建立了均匀设计与组合设计理论中均匀可分解设计之间的联系，提出了新的构造均匀设计的方法。

已有研究虽然在离散偏差度量的均匀性及与其他准则关系方面取得了一定成果，但仍存在一些不足。部分研究仅针对特定水平数的因子设计，对于更广泛的一般情况研究较少；在多种准则之间的综合比较和系统分析方面还不够完善，缺乏全面深入的探讨，未能充分揭示不同准则在各种复杂试验条件下的相互关系和适用范围。

1.3研究方法与创新点

本文将采用代数分析方法，借助Kronecker积等代数工具对离散偏差的性质进行深入研究。通过对离散偏差公式进行代数变换和推导，分析其在不同试验设计情况下的特点和规律，从而揭示均匀性、正交性和混杂等概念之间的内在联系。例如，利用K