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高中高阶数学题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数\(y=\log_2(x^2-4x+3)\)的定义域是（）

A.\((1,3)\)B.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\((0,3)\)D.\((1,2)\cup(2,3)\)

答案：B

解析：要使对数函数有意义，则\(x^2-4x+30\)，即\((x-1)(x-3)0\)，解得\(x1\)或\(x3\)，所以定义域是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)。

2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于（）

A.0B.1C.2D.3

答案：A

解析：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times(-1)=2-2=0\)。

3.双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的渐近线方程是（）

A.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{9}x\)

答案：A

解析：对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，这里\(a=2\)，\(b=3\)，所以渐近线方程是\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。

4.设函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(x)\)在区间\([-2,2]\)上的最大值为（）

A.2B.4C.-2D.-4

答案：B

解析：对\(f(x)=x^3-3x\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-3\)，令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=\pm1\)。分别计算\(f(-2)=-2\)，\(f(-1)=2\)，\(f(1)=-2\)，\(f(2)=2\)，所以最大值为\(4\)。

5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)等于（）

A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)

答案：B

解析：因为\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha0\)，根据\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。

6.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2\)，则\(a_5\)等于（）

A.9B.11C.13D.15

答案：A

解析：\(a_5=S_5-S_4=5^2-4^2=25-16=9\)。

7.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）

A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)

答案：A

解析：对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

8.已知直线\(l\)过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)垂直，则直线\(l\)的方程是（）

A.\(x+2y-5=0\)B.\(x-2y+3=0\)C.\(2x+y-4=0\)D.\(2x-y=0\)

答案：A

解析：直线\(2x-y+1=0\)的斜率为\(2\)，与其垂直的直线斜率为\(-\frac{1}{2}\)，则直线\(l\)的方程为\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y-5=0\)。

9.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是（）

A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,2