第01章矢量分析.pptVIP

意义：矢量场穿过过包围单位体积的闭合面的通量，又称通量密度。有源有洞无散场第29页，共67页，星期日，2025年，2月5日矢量场表示为：直角坐标系下散度表达式的推导不失一般性，令包围P点的体积元?V为一平行六面体，如图所示。则第30页，共67页，星期日，2025年，2月5日在x方向上：计算穿过和面的通量为根据泰勒定理：则：在x方向上的总通量：第31页，共67页，星期日，2025年，2月5日在z方向上,穿过和面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在y方向上,穿过和面的总通量：第32页，共67页，星期日，2025年，2月5日该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：称为向量微分算子或哈密尔顿算符（读作del或Nabla）可视为一种特殊的矢量，它的每个“分量”为微分符号，因而对“乘”到得项起求导的作用。将矢量的微分运算变为与之间的矢量代数运算。第33页，共67页，星期日，2025年，2月5日1.4高斯定理（散度定理）由散度的定义：，该式只对微小体积成立。对于有限大体积V，分为许多小体积元、…...体积的剖分VSdS2dS1V1V2第34页，共67页，星期日，2025年，2月5日左:,为整个有限体积右:面积之和（1）V内两个相邻小体积的分界面（2）V的外表面左=右得高斯定理第35页，共67页，星期日，2025年，2月5日数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。散度的意义数学角度：高斯定理建立了面积分和体积分的关系。物理角度：高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。第36页，共67页，星期日，2025年，2月5日例：已知点电荷q所产生的电场强度，求其在任何一点M处的散度解：可见，除点电荷q所在位置（r=0）外，电场的散度处处为零。第37页，共67页，星期日，2025年，2月5日1.5矢量的环流量、旋度1.5.1环流量在矢量场分布的空间，取一有向闭曲线矢量场的环流第38页，共67页，星期日，2025年，2月5日1.5.2环流密度以l为周界的曲面，规定的正法线方向和的绕行方向构成右手螺旋关系。当缩小到P点附近，以下极限有一确定值：称该极限为矢量场在P点处沿方向的环流密度。（该值与的形状无关，但与所围面积的法线有关）第39页，共67页，星期日，2025年，2月5日1.5.2旋度矢量场在P点的旋度是一个矢量大小：该点最大环流密度方向：取得最大环流密度的方向由旋度的定义可知：沿任一方向的环流投影密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）第40页，共67页，星期日，2025年，2月5日旋度的计算旋度的散度恒为零第41页，共67页，星期日，2025年，2月5日*旋度的物理意义yxzVx旋度的计算公式反映了某点处的实际旋转趋势，旋度矢量反映的是场量沿其垂直方向上的变化情况。如沿y、z方向、沿x、z方向、沿x、z方向的变化率等等，其效果是可能引起漩涡，旋度不等于0是产生漩涡的基本条件。第42页，共67页，星期日，2025年，2月5日例：求矢量场在点M（1,2,1）处的旋度以及在这点沿矢径方向的环流密度。解：由旋度的计算公式：第43页，共67页，星期日，2025年，2月5日2.M点的矢径于是，矢量场在M点沿方向的环流密度第44页，共67页，星期日，2025年，2月5日作业：p151011第45页，共67页，星期日，2025年，2月5日1.6斯托克斯定理或由旋度的定义可知，对于无限小的面积元对于有限大面积l为s的周界方向相反大小相等结果抵消n曲面的剖分l第46页，共67页，星期日，2025年，2月5日4、散度和旋度的区别第47页，共67页，星期日，2025年，2月5日第01章矢量分析第1页，共67页，星期日，2025