§4特征值与特征向量.pptxVIP

2线性变换的运算3线性变换的矩阵

4特征值与特征向量1线性变换的定义

5对角矩阵7不变子空间

8若当标准形简介6线性变换的值域与核

小结与习题第七章线性变换

9最小多项式

一、特征值与特征向量

二、特征值与特征向量的求法

三、特征子空间

四、特征多项式的有关性质

引入

从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当

的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是

一个对角矩阵?

有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性

希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.

变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，

一、特征值与特征向量

定义：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，

若对于中的一个数存在一个的非零向量

P0,V,

使得

()0,

则称为的一个特征值，称为的属于特征值

0

的特征向量

0.

注：

①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持

时

相同(00或)相反(00).00,()0.

②若是的属于特征值的特征向量，则

0

也是的属于的特征向量

k(kP,k0)0.

(k)k()k(0)0(k)

由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，

但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即

若()且()，则.

二、特征值与特征向量的求法

分析：设是的一组基，

dimVn,1,2,,nV

线性变换在这组基下的矩阵为A.

设是的特征值，它的一个特征向量在基

0

x01

1,2,,n下的坐标记为,



x0n

x01

则(在)基1,2,下,的n坐标为A,



x0n

x

01又

而的坐标是,()0

00

x0n

x01x01x01

于是A,从而(EA)0.

0