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正弦、余弦的诱导公式（一）

一、复习引入：1．任意角的三角函数的定义:raOxxyP(x,y)y2.三角函数在各象限内的符号规律：第一象限全为正,二正弦三切四余弦为正全正为正为正

三角函数线设角?的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M,由三角函数的定义知,点P的坐标为,其中=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与?的终边或其反向延长线相交于点T,则.我们把有向线段OM、MP、AT叫做?的、、.OM,MPAT余弦线正弦线正切线

三角函数线MPOMAT有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线

同角三角函数的基本关系公式:倒数关系:商数关系:平方关系:三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系.

诱导公式一（其中k∈Z）:用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．其方法是先在0～2π内找出与角终边相同的角,再把它写成诱导公式(一)的形式,然后得出结果.

这组公式可以统一概括为的形式,其特征是：等号两边是同名函数,且符号都为正.运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成是不对的.

二、讲解新课：诱导公式二:用弧度制可写成它刻画了角180o+?与角的正弦值(或余弦值)之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数．

这是因为若设?的终边与单位圆交于点P(x,y),则角?终边的反向延长线,即180o+?角的终边与单位圆的交点必为P′(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin?=y，cos?=x,sin(180o+?)=-y, cos(180o+?)=-x,所以:sin(180o+?)=-sin?，cos(180o+?)=-cos?．(图4-5-1)

诱导公式三：它说明角-?与角的正弦值互为相反数,而它们的余弦值相等.这是因为,若没?的终边与单位圆交于点P(x,y),则角-?的终边与单位圆的交点必为P′(x,-y)(如图).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得sin?=y,cos?=x,sin(-?)=-y,cos(-?)=x,所以：sin(-?)=-sin?,cos(-?)=cos??xyMO(图4-5-2)P′(x,-y)P(x,y)-?

公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P′与点P关于原点对称，而在图2中，点P′与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P′的坐标铺平了道路,体现了数形结合这一数学思想的优越性.01诱导公式四:用弧度制可写成02

诱导公式五:用弧度制可写成公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接问题处理这一化归的数学思想．010203040506

五组诱导公式可概括为：?+k·360o（k∈Z），-?，180o±?，360o-?的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个符号”是指的同名函数值未必就是最后结果,前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号．

三、讲解范例：例1．下列三角函数值：(1)cos210o(2)sin(3)sin()(4)cos(－60o)－sin(－210o)=cos(180