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第八章能带Ⅱ11.运动方程2准经典近似3点阵的周期势场是在点阵常数的范围内变化，这样的势场只能用量子力学来处理，因为它是一个微观场，但对于外加的宏观的电磁场，在波包范围内基本是恒定的，因此对于宏观场而言，可把波包的运动看作经典粒子的运动，而采用经典力学的方法来处理。这就是准经典近似方法（或称半经典极限，之所以称“半”是因为对周期场处理仍按量子力学的方法解决）。4

运动方程

主要考虑Bloch电子在外加电磁场下的运动规律。

Bloch电子的速度是Bloch波包的群速度三维时：

1若外加电场为，则外场对Bloch电子要作功，在t时间内，电子的能量增加为：2又∵5则4比较3(即电子能量的变化引起的波矢变化为k)又

若足够小，则有：三维时：

上式表明了电子在波矢空间的运动规律。从式中可看到：电子晶体动量的变化率仅决定于外力，而与周期势场无关。

（真实空间中的运动规律）（波矢空间中的运动规律）

从上式可看出在外加磁场下，Bloch电子在波矢空间的运动规律：01垂直于电子等能面的梯度。因此波矢在电子的等能面上运动。即在外加磁场下电子的能量是不变的。同时，又垂直于，说明在波矢空间02的运动方向与磁场方向是垂直的。在与垂直的平面上运动。电子既要在等能面上运动，又要在垂直于的平面上运动，则只能沿这两个面的交线运动。03

〈2〉空穴的能量即空穴的能量等于失去的那个电子的能量的负值。

1电子和空穴在恒定电场下的半经典运动2在外加恒定电场下，电子的波矢的改变满足方程式：3在恒定电场中，电子的速度以均匀速度变化，若t=0时刻开始加电场，则在时刻t电子的波矢为

在BZ边界上，电子由于受Blagg反射形成驻波，驻波的速度为零，∴在BZ边界上电子的速度在一维情况下电子的速度是有界函数不象自由电子是线性函数

例如：则

也就是说电子在外场下获得的波矢改变为，而一个BZ的尺寸，即电子的波矢改变仅为BZ尺度的。换句话说，电子只能在波矢空间在原波矢附近运动一个极小的距离。所以观察不到周而复始的变化，因而电子对外加恒定电场就不可能有周期性的响应。0102

3.有效质量01有效质量的定义02一维情况下，，电子在03外场作用下得到的加速度为：04而由运动方程可知：05或06

现在我们看一看对简单的能带在区边界处电子的有效质量，在区边界处电子的能谱为：01为区边界上自由电子的动能，U是周期势场的付里叶系数。02

对于价带：对于导带：一般情况下

对于导带边的电子的有效质量m*?0

对于价带边的电子的有效质量m*?0010302

则|me|||而根据U在禁带宽度的数量级∴|me|/m～

(能量的零点取在价带边上)C也相当于一个自由粒子,无论是电子或空穴都可用自由粒子来处理,只不过用有效质量来表示,只适用于区边界。F对于导带中的电子:B相当于一个自由电子的能谱。D对于价带中的空穴:E引入m*后,函数在区边界附近可写成:A

电子的晶体动量和电子的速度之间有：上式只在区边界附近成立，因为随k是逐点变化的，只有在区边界附近才近似线形关系。0102

电子或空穴在外电场下的电流:这两部分电流加起来就是半导体的总电流(即价带中的空穴的电流和导带中的电子的电流)。

01有效质量张量03电子或空穴的速度：02在晶体是各向异性的情况下有效质量m*将不再是标量，而是一个张量。04电子或空穴的加速度：

01写成分量形式：02则03是一个张量。

m*中已含有和的贡献。01若02

要用此方法测电子的有效质量，需电子在两次碰撞之间的时间中来得及在等能面上回旋一周，即》1，此时吸收峰的位置才能观察到。01若》1不满足，则电子有可能与声子发生碰撞，要减少电子与声子的碰撞，具体来说要增大就要求低温，（一般在液氦温度）还要提高样品纯度（减少与杂质的碰撞），同时还要提高大则回旋快，相应需要的02就可小些。03

4能带理论的限制（金属一绝缘体转变）01以Na的情况为例来说明。我们知道Na是金属，是一个导体，这主要是它的3S能带是半满的。现在，我们考虑如果用某种方法使Na膨胀，以致于使它的点阵常数a能任意增大，那么是否对于a取任何值时Na材料仍然保持是一个导体呢？如果能带模型是正确的话，答案将是完全肯定的，因为不管a值如何变化，3S能带始终是半满的，它的金属性始终存在。02