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线性系统典型题目解析与重点复习

线性系统理论是控制工程、信号处理、通信等诸多工科领域的基础，其核心思想与分析方法贯穿于后续许多专业课程的学习。掌握线性系统的基本概念、分析方法并能熟练求解典型题目，对于深入理解相关工程问题至关重要。本文旨在梳理线性系统的复习重点，并通过对典型题目的解析，帮助读者巩固知识、提升解题能力，为后续学习与应用打下坚实基础。

一、线性系统复习要点概览

在进入题目解析之前，有必要对线性系统的核心概念与分析方法进行梳理，这是解题的基石。

（一）核心概念的再梳理

1.线性系统的定义与特性：这是最根本的出发点。线性系统必须同时满足叠加性与齐次性（均匀性）。需要深刻理解这两个特性的数学表达与物理含义，并能准确判断一个给定系统是否为线性系统。

2.系统的因果性与时不变性：

*因果性：系统在任意时刻的输出仅取决于该时刻及之前的输入，而与未来输入无关。判断依据是单位冲激响应h(t)在t0时为零（连续时间）或h[n]在n0时为零（离散时间）。

*时不变性：系统的输入延迟一段时间，其零状态响应也延迟相同的时间，且波形不变。判断时需考察系统参数是否随时间变化。

3.系统的稳定性：对于有界输入，系统能产生有界输出（BIBO稳定）。对于线性时不变（LTI）系统，连续时间下要求系统函数H(s)的所有极点位于s左半平面；离散时间下要求H(z)的所有极点位于z单位圆内。

4.系统的数学模型：

*输入输出描述：微分方程（连续）、差分方程（离散）。

*状态空间描述：状态方程与输出方程，适用于多输入多输出系统及更深入的系统分析与设计。

（二）主要分析方法与工具

1.时域分析：

*卷积积分（连续）与卷积和（离散）：LTI系统零状态响应的求解方法，核心在于理解其物理意义和计算技巧。

*单位冲激响应：表征LTI系统时域特性的关键函数。

2.变换域分析：

*拉普拉斯变换与Z变换：将时域中的微分方程/差分方程转化为代数方程，极大简化了系统分析。重点掌握其定义、性质、收敛域以及正反变换的计算。

*系统函数（传递函数）H(s)/H(z)：由系统的零极点分布完全决定系统的特性。是连接时域与频域、分析系统稳定性、频率响应、设计滤波器的重要工具。

3.频域分析：

*傅里叶变换：分析系统对不同频率分量的响应。

*频率响应：H(jω)或H(e^(jΩ))，表征系统对正弦输入的稳态响应特性，包括幅频特性和相频特性。

二、典型题目解析与方法归纳

（一）类型一：系统基本特性的判定

题目示例：判断下列系统是否为线性系统、时不变系统、因果系统。

（1）y(t)=x(t)cos(t)

（2）y[n]=x[n]+x[n+1]

解析：

（1）对于系统y(t)=x(t)cos(t)：

*线性判定：设输入x1(t)产生y1(t)，输入x2(t)产生y2(t)。则ax1(t)+bx2(t)产生ax1(t)cos(t)+bx2(t)cos(t)=ay1(t)+by2(t)。满足叠加性与齐次性，故为线性系统。

*时不变性判定：输入x(t-t0)，输出应为x(t-t0)cos(t)。而y(t-t0)=x(t-t0)cos(t-t0)。两者显然不相等（除非t0=0），故为时变系统。

*因果性判定：输出y(t)仅取决于同一时刻的输入x(t)，与未来输入无关，故为因果系统。

（2）对于系统y[n]=x[n]+x[n+1]：

*线性判定：易于验证满足叠加性与齐次性，为线性系统。

*时不变性判定：输入x[n-n0]，输出为x[n-n0]+x[n-n0+1]。而y[n-n0]=x[n-n0]+x[n-n0+1]。两者相等，故为时不变系统。

*因果性判定：输出y[n]不仅取决于当前输入x[n]，还取决于未来输入x[n+1]，故为非因果系统。

方法归纳与注意事项：

*线性判定：严格按照定义，验证对任意常数a、b和任意输入x1、x2，是否有T{ax1+bx2}=aT{x1}+bT{x2}。注意是否存在常数项或输入的非线性运算（如平方、绝对值等）。

*时不变性判定：关键看系统是否有内部的“时变部件”或对输入的“时移”操作是否与输出的“时移”一致。输入时移t0，看输出是否也时移t0，且波形不变。

*因果性判定：核心在于输出是否只与当前及过去的输入有关，而与未来输入无关。对于n时刻的离散系统，输出只取决于n,n-1,n-2,...的输入；对于t时刻的连续系统，输出只取决于t,t-ε(ε0),...的输入。

（二）类型二