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初升高暑期分式不等式专项辅导课

引言：分式不等式——高中数学的第一道“坎”？

亲爱的同学们，恭喜你们顺利完成初中学业，即将迈入充满挑战与机遇的高中校园。高中数学与初中数学相比，在难度、深度和思维方式上都有不小的跨越。而分式不等式，作为初升高衔接阶段的一个重要知识点，常常是同学们遇到的第一道“拦路虎”。它不仅是初中分式运算和不等式性质的综合应用，更是后续学习函数、导数等内容的基础。暑期是查漏补缺、提前预习的黄金时期，本次专项辅导课，我们将系统梳理分式不等式的知识脉络，掌握其核心解法与技巧，为你们平稳过渡到高中数学学习打下坚实的基础。

一、知识回顾与准备：分式与不等式的“旧识新交”

在正式学习分式不等式之前，我们先来回顾一些必备的基础知识，它们是解决分式不等式的“利器”。

1.1分式的基本概念与性质

我们知道，形如`A/B`(其中`B`中含有字母，且`B≠0`)的式子叫做分式。这里务必牢记：分母不能为零，这是分式有意义的前提，在解分式不等式时尤为关键。

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。这条性质在分式的化简和变形中经常用到，但在不等式中应用时需格外小心符号问题。

1.2不等式的基本性质回顾

解不等式的过程，就是根据不等式的性质对不等式进行变形的过程。我们重温几条核心性质：

1.若`ab`，则`a+cb+c`(不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变)。

2.若`ab`且`c0`，则`acbc`(不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变)。

3.若`ab`且`c0`，则`acbc`(不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变)。

性质3是最容易出错的地方，在分式不等式中，当我们需要处理分母的符号时，这条性质至关重要。

二、分式不等式的解法探究：从“形”入手，等价转化

形如`f(x)/g(x)0`(或`0`,`≥0`,`≤0`)的不等式，叫做分式不等式，其中`f(x)`和`g(x)`是整式，且`g(x)≠0`。

2.1核心思想：化分式为整式，化未知为已知

分式不等式求解的核心在于等价转化。我们的目标是将陌生的分式不等式转化为熟悉的整式不等式（组）来求解。如何实现这一转化呢？

2.2“大于零”与“小于零”型分式不等式的等价转化

考虑分式不等式`f(x)/g(x)0`。

一个分数大于零，意味着什么？根据有理数除法的符号法则，分子、分母同号（即同时为正或同时为负）。

因此，`f(x)/g(x)0`等价于`f(x)·g(x)0`且`g(x)≠0`。

这里的`g(x)≠0`是隐含条件，因为原分式要有意义。但在`f(x)·g(x)0`中，若`g(x)=0`，则乘积为零，不满足大于零，所以在解`f(x)·g(x)0`时，`g(x)=0`的情况自然被排除了。因此，通常我们可以简单表述为：

`f(x)/g(x)0`等价于`f(x)·g(x)0`。

同理，对于分式不等式`f(x)/g(x)0`。

一个分数小于零，意味着分子、分母异号（即一正一负）。

因此，`f(x)/g(x)0`等价于`f(x)·g(x)0`。

这是分式不等式求解中最基本、最重要的等价关系，请务必深刻理解并牢记。

2.3“大于等于零”与“小于等于零”型分式不等式的等价转化

接下来考虑`f(x)/g(x)≥0`。

分数大于等于零，意味着分子、分母同号，或者分子为零（此时分数值为零）。但分母绝对不能为零。

因此，`f(x)/g(x)≥0`等价于`f(x)·g(x)≥0`且`g(x)≠0`。

这里的`g(x)≠0`是必须明确写出的条件，因为当`f(x)·g(x)≥0`时，可能包含`g(x)=0`的情况（此时`f(x)`无论为何值，乘积都为零），但这在原分式中是无意义的。

同理，`f(x)/g(x)≤0`等价于`f(x)·g(x)≤0`且`g(x)≠0`。

总结一下：

*`f(x)/g(x)0?f(x)·g(x)0`

*`f(x)/g(x)0?f(x)·g(x)0`

*`f(x)/g(x)≥0?f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0`

*`f(x)/g(x)≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0`

2.4步骤梳理：解分式不等式的“四步法”

1.移项通分，化为标准型：将不等式右边化为零，左边化为一个分式`f(x)/g(x)`的形式。例如，对于