第二十八章 锐角三角函数综合题拓展训练（10考点65题）(解析版）-A4.docxVIP

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第二十八章锐角三角函数综合题拓展训练

目录与链接

考点一、利用三角函数求最值………………………2

考点二、一次函数与三角函数的综合问题………14

考点三、二次函数与三角函数的综合问题………26

考点四、反比例函数与三角函数的综合问题……………………56

考点五、三角形与三角函数的综合问题…………69

考点六、四边形与三角函数的综合问题…………86

考点七、圆与三角函数的综合问题………………105

考点八、相似三角形与三角函数的综合…………116

考点九、网格图背景下的三角函数应用…………136

考点十、构造直角三角形求值……………………144

考点一、利用三角函数求最值

1．如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为．

【答案】4.8

【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，垂线段最短，过的中点作的垂线与交于点M，连接，根据勾股定理，得，可知当直线过O点时，的值最大，再根据勾股定理求出，然后根据正弦求出，再根据直角三角形的性质得，即可求出，接下来根据勾股定理求得，即可得出答案．

【详解】过的中点作的垂线与交于点M，连接．

∵，

∴．

当的值最小时，的值最大，

根据垂线段最短可知，当直线过O点时，的值最大．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

在中，，

∴,

根据勾股定理，得，

∴．

故答案为：4.8．

2．如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则=，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为．

【答案】2

【分析】①过点O作，垂足为H，根据题意可得，利用平行四边形的性质可得，然后在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出、的长，进行计算即可求出的长；②根据题意可得点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得，，，从而可得，，进而求出，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，最后设，则，，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．

【详解】解：①过点O作，垂足为H，

由题意得：

，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

在中，，

∴，

，

在中，，

∴，，

∴，

∴，

∴当点Q落在上时，则，

②∵，

∴点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，

当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接，

∵点B关于直线AP的对称点为Q，

∴，，，

∴，

，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴或（舍去），

∴，

∴在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为2．

故答案为：；2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

3．如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为．

【答案】

【分析】连接，先证明，得到点E在直线上运动，过点B作于点G，解答即可．

【详解】解：连接，

∵，，，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，．

故点E在直线上运动，，

过点B作于点G，

根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，取得最小值，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键．

4．如图，，点P在射线上，且，点Q是射线上一动点．将沿折叠，点O落在平面内点C处．点D在射线上，且，则的最小值为．

【答案】

【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，先判断出最小时，点C在的延长线上，再用锐角三角函数和勾股定理计算即可．

【详解】解：过点D作于E，

在中，，

∴，

∴，

在中，

∴．

故答案为：．

5．在平面直角坐标系中，已知点