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第二十八章锐角三角函数知识归纳与题型突破（十题型清单）
01思维导图
01思维导图
02知识速记
02知识速记
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
二、30°，45°，60°角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
三、解直角三角形的概念及理论依据
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
四、解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
五、解直角三角形的实际应用
1．仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
2．解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
叠合式（2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解．
03
03题型归纳
题型一锐角三角函数定义的辨析
例：如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可．
【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意；
．，正确，故该选项不符合题意；
．，正确，故该选项不符合题意；
．，原表示方法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
2．在中，，下列选项中的关系式正确的是（??）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据三角函数的定义即可作出判断．
【详解】解：在中，，
∴，，，，故A、B、C错误，
，故D正确，
故选：D．
3．在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意；
、，即，该选项等式不正确，符合题意；
、，即，该选项等式正确，不合题意；
、，即，该选项等式正确，不合题意；
故选：．
??
4．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（???）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变．
【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变．
故选A．
5．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边，
∴；
故成立的是选项B；
故选B．
6．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C
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