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1矩阵特征值与特征向量一填空题2,3,4,5,8,9，10二选择题6，7三计算2,4,8四证明2，4
2一、填空2.因为是正交矩阵,所以又因为所以故3.因为所以4.因为的特征值是的特征值的倒数.
01因为设02由于对称矩阵03的04属于不同特征值的特征向量是正交的,所以05解齐次方程组06得一非零解07
存在可逆矩阵48.因为则与有相同的特征值,已知的全部特征值为故的全部特征值为从而的全部特征值为使得即
所以
的非零解,即69.因为设为所以是的一个特征值.10.的三个特征值分别为因为设为的特征值,即且从而即又因为的特征值为所以故的特征值分别为
二选择题7因为所以的特征值为
三、计算9解:因为所以的全部特征值为
求属于特征值101特征向量:2因为3取5故属于特征值6的特征向量为8为任意非零常数.7其中4得特征向量
求属于特征值11(二重根)的特征向量:01因为02取03得04故属于特征值05的特征向量为06其中07为任意不全为零的常数.08取09得10
(2)用施密特正交化方法将12单位化得:03再将02正交化得:01
令则有12
的一个特征值.144.解:因为所以是而又因为所以故有一个特征值8.解:因为均不可逆,所以故的全部特征值为设为的属于任一特征值的特征向量,则从而
的特征值,故15所以是的全部特征值为从而又因为所以是的特征值,故的全部特征值为所以
四、证明题162.证明:因为对任意非零向量都有所以的全部特征值为零.从而的特征值也为零.若不然,设有特征值则有非零向量使得从而有所以有非零的特征值,矛盾.4.证明:因为所以故又因为所以故从而是的特征值.
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