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2025年宁夏回族自治区（专升本）数学（理科）考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x，则f(x)=（）

A.3x^23

B.3x^2+3

C.3x^26x

D.3x^2+6x

答案：A

解析：根据导数定义，f(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)f(x)]/Δx。代入f(x)=x^33x，得到f(x)=3x^23。

2.函数y=2x^33x^2+1在x=1处的切线斜率为（）

A.1

B.0

C.1

D.6

答案：D

解析：求切线斜率即为求导数。y=6x^26x。代入x=1，得到切线斜率为6。

3.若函数y=2e^x+3lnx的导数为y=2e^x+3/x，则x=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：将y=2e^x+3/x代入y=2e^x+3/x，得到2e^x+3/x=2e^x+3/x。整理后得到x=2。

4.若函数y=x^22x+1在x=a处的切线平行于x轴，则a=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：切线平行于x轴意味着切线斜率为0。求导数y=2x2。令y=0，得到x=1。故a=1。

5.已知函数y=x^36x^2+9x+1在x=3处的极值为（）

A.0

B.1

C.4

D.8

答案：D

解析：求极值需要先求导数。y=3x^212x+9。令y=0，得到x=1或x=3。计算y(3)=3^363^2+93+1=2754+27+1=1。由于y(x)在x=3两侧符号不变，所以x=3处为极值。故极值为8。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^22x+1，则f(x)=_______。

答案：2x2

7.函数y=e^x在x=0处的切线方程是_______。

答案：y=1

8.若函数y=lnx的导数为y=1/x，则x=_______。

答案：e

9.若函数y=x^33x^2+2x+1的导数为y=3x^26x+2，则x=_______。

答案：1

10.函数y=x^2e^x在x=0处的二阶导数y=_______。

答案：2

三、解答题（每题25分，共50分）

11.已知函数y=x^22x+1，求证：在区间[0,2]内，函数y=x^22x+1的图像是凹的。

证明：求二阶导数y=2。因为y0，所以在区间[0,2]内，函数y=x^22x+1的图像是凹的。

12.已知函数y=x^36x^2+9x+1，求函数在区间[0,3]内的最大值和最小值。

解：求导数y=3x^212x+9。令y=0，得到x=1或x=3。计算y(0)=1，y(1)=5，y(3)=1。所以函数在区间[0,3]内的最大值为5，最小值为1。