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小学奥数几何模型讲解

在小学奥数的知识体系中，几何无疑是一块充满趣味与挑战的领域。相较于基础的平面图形认知与计算，奥数几何更侧重于引导学生发现图形间的内在联系，运用巧妙的方法解决复杂问题。其中，几何模型的掌握与灵活运用，往往是攻克难题的关键。本文将深入浅出地讲解小学阶段奥数中几个核心的几何模型，旨在帮助学生建立空间观念，培养逻辑推理与转化思想。

一、等高模型：面积关系的基石

等高模型，顾名思义，核心在于“等高”二字。它揭示了在一组高相等的三角形或平行四边形中，面积与底之间的比例关系。这是所有复杂几何模型的基础，务必深刻理解。

模型解读

在三角形中，若两个三角形的高相等（或相同），那么它们的面积之比等于它们对应的底边长之比。同样地，对于平行四边形，若高相等，面积之比也等于其底边长之比。

我们可以想象，当高度固定时，底边越长，图形“铺开”的范围就越大，面积自然也就越大。这个关系可以用公式直观表示：

*三角形面积=底×高÷2

*平行四边形面积=底×高

当“高”这个因素固定时，面积的变化就完全由“底”来决定了。

核心性质

1.同（等）高三角形面积比等于底之比：若△ABC与△ADC共用顶点A，且BC与DC在同一直线上，高均为从A点向BC所在直线所作的垂线，则Ssub△ABC/sub:Ssub△ADC/sub=BC:DC。

2.反之亦然：若两个同高三角形面积比已知，则其底边长之比也等于面积比。

例题精讲

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且BD:DC=2:3。若△ABD的面积是10平方厘米，求△ADC和△ABC的面积。

分析：△ABD与△ADC共用顶点A，且它们的底边BD和DC在同一直线上，因此它们的高相等（均为A到BC的距离）。根据等高模型的性质，它们的面积比等于底边长之比BD:DC=2:3。

解答：

设△ADC的面积为x平方厘米。

则有10:x=2:3

解得x=15。

所以△ADC的面积是15平方厘米。

△ABC的面积=△ABD的面积+△ADC的面积=10+15=25平方厘米。

等高模型看似简单，却是后续学习更复杂模型如鸟头模型、蝴蝶模型的重要前提，是解决面积比例问题的“金钥匙”。

二、鸟头模型：共角三角形的面积奥秘

鸟头模型，又称共角模型，主要用于解决两个三角形有一个角相等或互补时，它们面积之间的关系。因其图形形状有时像鸟的头部，故生动地称为“鸟头模型”。

模型解读

若两个三角形中有一个角相等或互补（即相加等于180度），那么这两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边长度的乘积之比。

这个模型可以看作是等高模型的延伸。当两个角相等或互补时，我们可以通过作辅助线等方式，将其转化为等高模型来理解，但鸟头模型给出了更直接的面积比计算方式。

核心性质

在△ABC和△ADE中，若∠BAC=∠DAE（或∠BAC+∠DAE=180°），则有：

Ssub△ABC/sub:Ssub△ADE/sub=(AB×AC):(AD×AE)

例题精讲

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB=1:3，AE:AC=1:4。已知△ADE的面积是2平方厘米，求△ABC的面积。

分析：观察图形可知，△ADE与△ABC有一个公共角∠A，符合鸟头模型的条件。夹∠A的两边分别为AD、AE和AB、AC。

解答：

根据鸟头模型，Ssub△ADE/sub:Ssub△ABC/sub=(AD×AE):(AB×AC)

已知AD:AB=1:3，AE:AC=1:4，所以(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(3×4)=1:12。

设△ABC的面积为x平方厘米，则2:x=1:12，解得x=24。

所以△ABC的面积是24平方厘米。

鸟头模型在解决含公共角或互补角的三角形面积问题时，能极大地简化计算步骤，提高解题效率。

三、蝴蝶模型：梯形与四边形中的比例关系

蝴蝶模型主要应用于梯形和任意四边形中，用于揭示由对角线交叉所形成的四个小三角形之间的面积关系。因其画出辅助线后形似蝴蝶翅膀而得名，是解决四边形面积问题的有力工具。

模型解读

1.任意四边形中的蝴蝶模型：

在任意四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。则有：

*Ssub△AOB/sub×Ssub△COD/sub=Ssub△AOD/sub×Ssub△BOC/sub（对角面积乘积相等）

*Ssub△AOB/sub:Ssub△AOD/sub=OB:OD（上、下两部分面积比等于对应底边OB与OD之比，源于等高模型）

同理，Ssub△BOC/sub: