2026年中考数学核心考点一轮复习 三角形（含解析）.docxVIP

中考数学一轮复习三角形

一．解答题（共20小题）

1．【探究】

（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．

①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】

（2）如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，CE=23．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．

2．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD是AB边的中线．

【初步探究】（1）如图1，当∠ACB＝90°时，请用含a，b的式子表示CD2，CD2＝；

（2）如图2，当AC＝BC＝a时，请用含a，c的式子表示CD2，CD2＝；

【提出问题】在一般三角形中，如何用a，b，c表示CD2．

【分析问题】在（2）中根据等腰三角形的性质，可在直角三角形中利用勾股定理直接计算出CD2．类似的方法，在一般的三角形中，也可以通过构造直角三角形，利用勾股定理，间接计算出CD2．

【解决问题】如图3，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD是AB边的中线．求证：CD

证明：作△ABC的高CE，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

在Rt△AEC和Rt△BEC中，

CA2＝CE2+AE2＝CE2+（AD﹣ED）2＝…

CB2＝CE2+BE2＝CE2+（BD+ED）2＝…

…

（3）请补充完成以上证明过程．

【知识应用】如图4，在边长为1的正方形网格中，A、B两点是网格的交点，利用无刻度直尺在直线l上画出一点P，使得PA2+PB2的值最小，并直接写出PA2+PB2的最小值为．

3．图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图．水平台面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m，乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t＝1时，h＝5；P，Q的水平距离是vt（单位：m）．

（1）设v＝10m/s，用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）

（2）在（1）的条件下，

①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；

②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：7≈

（3）将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）

4．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．

【特例探究】

（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝62时，AC＝，BC＝；

如图2，当sin∠PAB=12，AB＝4时，AC＝，BC＝

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，在△ABC中，AB＝43，BC＝25，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连接DE并延长至G，使得GE＝DE，连接BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．

5．问题提出

（1）如图1，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．

问题探究

（2）如图2，在△ABC中，内角∠ABC的平分线BE和外角∠ACF的平分线CE，相交于点E，连接AE，若∠BEC＝40°，请求出∠EAC的度数．

问题解决

（3）如图3，某地在市政工程施工中需要对一直角区域（∠AOB＝90°）内部进行围挡，直角区域∠AOB内部有一棵大树（点P），工作人员经过测量得到点P到OA的距离PC为10米，点P到OB的距离PD为20米，为了保护大树