高等代数考研模拟试题及答案.docx

高等代数考研模拟试题

一、选择题（每题5分，共20分）

设多项式f(x)=x^3-3x+2，g(x)=x^2+ax+b，若g(x)\midf(x)，则a,b的值分别为（）

A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2

设A为n阶方阵，A^*为A的伴随矩阵，若r(A)=n-1，则r(A^*)的值为（）

A.nB.n-1C.1D.0

设\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是3维线性空间V的一组基，向量组\beta_1=\alpha_1+\alpha_2，\beta_2=\alpha_2+\alpha_3，\beta_3=\alpha_3+k\alpha_1线性无关的充要条件是（）

A.k\neq1B.k\neq-1C.k\neq0D.k为任意实数

设A为3阶实对称矩阵，其特征值为1,2,3，则下列矩阵中与A合同的是（）

A.\begin{pmatrix}100\\020\\00-3\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}100\\0-20\\003\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}-100\\020\\003\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}

二、填空题（每题5分，共20分）

行列式\begin{vmatrix}1234\\2341\\3412\\4123\end{vmatrix}的值为________。

设\mathbb{R}^3的子空间W_1=\{(x,y,z)\midx+y+z=0\}，W_2=\{(x,y,z)\midx=y=z\}，则\dim(W_1\capW_2)=，。

设矩阵A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}，则A^*的逆矩阵(A^*)^{-1}=________（其中A^*为A的伴随矩阵）。

二次型f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3的秩为________。

三、计算题（每题15分，共45分）

设线性方程组\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=k\\x_1+4x_2+9x_3+16x_4=k^2\\x_1+8x_2+27x_3+64x_4=k^3\end{cases}，求k的值使方程组有解，并在有解时求出通解。

设矩阵A=\begin{pmatrix}211\\121\\112\end{pmatrix}，求可逆矩阵P及对角矩阵\Lambda，使得P^{-1}AP=\Lambda。

设3维线性空间V的一组基\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3，线性变换\sigma满足\sigma(\alpha_1)=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3，\sigma(\alpha_2)=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3，\sigma(\alpha_3)=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3，求\sigma在基\beta_1=\alpha_1-\alpha_2，\beta_2=\alpha_2-\alpha_3，\beta_3=\alpha_3下的矩阵。

四、证明题（每题15分，共45分）

证明：设W_1,W_2是n维线性空间V的子空间，若\dim(W_1)+\dim(W_2)=\dimV且W_1\capW_2=\{0\}，则V=W_1\oplusW_2（直和）。

证明：多项式f(x)=x^n+px+q（n\geq3）在有理数域上不可约的充分必要条件是f(x)没有有理根且不可以分解为两个次数都小于n的有理系数多项式的乘积（提示：可结合艾森斯坦判别法或反证法）。

证明：设A为n阶方阵，若A^2-3A+2E=0（E为单位矩阵），则A可对角化，且A的特征值只能是1或2。

高等代数考研模拟试题答案

一、选择题

答案：B

解析：对f(x)因式分解：f(x)=(x-1)^2(x+2)。因g(x)\midf(x)，故g(x)的根必为f(x)的根。设g(x)=(x-1)(x+2)=x^2+x-2（或(x-1)^2=x^2-2x+1，但代入f(x)验证不整除），对比得a=-1，b=2。

答案：C

解析：由伴随矩阵性质：若r(A)=n，则r(