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第五章空间问题的基本理论

教学重点教学要求1、了解空间问题的三套基本方程；2、掌握物体内任一点的应力状态；3、掌握轴对称问题的特点，了解轴对称问题的基本方程。1、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程；2、空间轴对称问题的基本方程。

在一般空间问题中,包含15个未知函数：6个应力分量σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx；6个应变形变分量εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx；3个位移分量u,v,w。它们都是坐标（x,y,z）的函数。

空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。

在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ的函数。球对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球(实心或空心球）。球对称问题

轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。轴对称问题ρ

5-1平衡微分方程在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。

考虑图示单元体z轴方向的平衡:在z面的负面z处，正应力为在x面的负面处，切应力为τxz；xyzoz正面z+dz处正应力为x正面x+dx处切应力为在物体内的任一点P取一微小的正六面体，其六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dz。

在y面的负面y处，切应力记为01x02y03z04o05y正面y+dy处应力为06设fz为物体z的方向的体力分量。07

2y5由3z6整理便得到z方向的平衡方程:1x4o

空间问题中的平衡微分方程：01.（5－1）添加标题02.同样得到x、y方向的平衡方程。添加标题

证明切应力互等定律整理得：根据小变形假定，略去微量不计，得同样可以得出：以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程：

5-2物体内任一点的应力状态已知任一点P的应力分量σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx，在P点附近取一平面ABC,平行于该斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,如图所示.n’为平面ABC的外法线,其方向余弦为：cos(n’,x)=l,cos(n’,y)=m,cos(n’,z)=n求：过该点的任一斜面上的应力。

1、求ABC面上的应力分量px，py，pz除以ds,然后令dv/ds→0,得：px=lσx+mτyx+nτzx由x方向的平衡得到：pxdS-σxldS-τyxmdS-τzxndS+fxdv=0设px、py、pz为斜面ABC的全应力p在坐标轴上的投影。斜面△ABC的面积为ds,PABC的体积为dv。则:△BPC的面积:lds△CPA的面积:mds△APB的面积:nds

添加标题添加标题添加标题添加标题添加标题py=mσy+nτzy+lτxypz=nσz+lτxz+mτyz同理可得y,z方向的平衡条件，于是得：px=lσx+mτyx+nτzx（5-2）

特殊情况下，如果ABC是物体受面力作用的边界sσ，则px，py，pz成为面力分量lσx+mτyx+nτzx由式（5－2）得出应力边界条件：nσz+lτxz+mτyz上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。mσy+nτzy+lτxy在sσ上

添加标题求ABC面上的正应力σn和切应力分量τn添加标题ABC面上的正应力σn：添加标题（5－3）添加标题将式（5－2）代入得：添加标题py=mσy+nτzy+lτxy添加标题pz=nσz+lτxz+mτyz添加标题px=lσx+mτyx+nτzx添加标题（5-2）

ABC面上的切应力τn：可见，若已知坐标面上的6个应力分量，就可求任一斜面上的正应力和切应力。6个应力分量完全决定了一点的应力状态。（5－4）（5－3）

则有：将式（5-2）代入得：若经过任一点P的某一面上的τn＝0，则该面为P点的一个应力主面，σn＝σ即为P点的一个