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2025年实变函数论思考题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1.设\(E\)是\(R^n\)中的点集，则\(E\)的外测度\(m^(E)\)不具有以下哪种性质（）

A.非负性B.单调性C.可列可加性D.次可列可加性

2.若\(E\)是\(R\)上的可测集，\(f(x)\)是\(E\)上的简单函数，则\(f(x)\)在\(E\)上（）

A.一定不可积B.一定可积C.不一定可积D.仅在\(E\)为有限集时可积

3.设\(E\subsetR^n\)，\(x_0\inR^n\)，若对于任意的\(\delta0\)，\((x_0-\delta,x_0+\delta)\capE\)都有无穷多个点，则\(x_0\)是\(E\)的（）

A.孤立点B.内点C.聚点D.边界点

4.可测函数列\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)，则下面说法正确的是（）

A.\(\{f_n(x)\}\)一定几乎处处收敛于\(f(x)\)

B.存在\(\{f_n(x)\}\)的子列几乎处处收敛于\(f(x)\)

C.\(\{f_n(x)\}\)一定一致收敛于\(f(x)\)

D.\(f(x)\)一定是连续函数

5.设\(E\)是\(R\)上的可测集，\(f(x)\)在\(E\)上可测，则\(\{x\inE:f(x)=+\infty\}\)是（）

A.不可测集B.可测集C.有限集D.空集

6.若\(E_1\)，\(E_2\)是\(R^n\)中的可测集，且\(E_1\subsetE_2\)，则\(m(E_1)\)与\(m(E_2)\)的关系是（）

A.\(m(E_1)\leqm(E_2)\)B.\(m(E_1)m(E_2)\)C.\(m(E_1)=m(E_2)\)D.不确定

7.设\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，\(E_0\)是\(E\)的可测子集，则\(f(x)\)在\(E_0\)上（）

A.不可测B.可测C.仅当\(E_0\)为开集时可测D.仅当\(E_0\)为闭集时可测

8.实变函数中，\(L\)积分与\(R\)积分相比，\(L\)积分的优点是（）

A.计算更简单B.可积函数类更广泛C.积分值更大D.更直观

9.设\(E\)是\(R\)上的可测集，\(f(x)\)在\(E\)上可积，则（）

A.\(|f(x)|\)在\(E\)上不一定可积B.\(|f(x)|\)在\(E\)上一定可积

C.\(f^2(x)\)在\(E\)上不可积D.\(f(x)\)在\(E\)的任意子集上都可积

10.若\(E\)是\(R^n\)中的零测集，则\(E\)上的任何函数\(f(x)\)（）

A.一定可积B.一定不可积C.若有界则可积D.仅当\(f(x)\)连续时可积

二、多项选择题（每题2分，共20分）

1.以下哪些是可测集的性质（）

A.有限个可测集的并集是可测集

B.可测集的补集是可测集

C.可列个可测集的交集是可测集

D.任意点集都是可测集

2.关于可测函数，下列说法正确的是（）

A.连续函数一定是可测函数

B.简单函数一定是可测函数

C.可测函数列的极限函数一定是可测函数

D.可测函数与连续函数的复合函数一定是可测函数

3.设\(E\)是\(R^n\)中的点集，以下哪些条件等价于\(E\)是可测集（）

A.对于任意的点集\(T\)，\(m^(T)=m^(T\capE)+m^(T\capE^c)\)

B.存在\(G_{\delta}\)型集\(G\)，使得\(E\subsetG\)且\(m^(G-E)=0\)

C.存在\(F_{\sigma}\)型集\(F\)，使得\(F\subsetE\)且\(m^(E-F)=0\)

D.\(E\)的边界点集的测度为0

4.实变函数中，\(L\)积分具有以下哪些性质（）

A.线性性B.单调性C.绝对连续性D.可加性

5.若函数列\(\{f_n(x)\}\)在可测集\(E\)上几乎处处收敛于\(f(x)\)，则（）

A.存在子列\(\{f_{n_k}(x)\}\)依测度