高等代数试题及答案.docxVIP

高等代数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆的？（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

【答案】B

【解析】矩阵可逆的充要条件是行列式不为零。A的行列式为0，不可逆；B的行列式为-2，可逆；C的行列式为4，可逆；D的行列式为-1，可逆。根据题目选项，选择B。

2.多项式\(p(x)=x^3-3x+2\)的重根是（）（2分）

A.1B.-1C.2D.0

【答案】C

【解析】用求根公式和因式分解，\(p(x)=(x-1)^2(x+2)\)，重根为1。

3.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）

A.\(\{(1,0),(2,0)\}\)B.\(\{(1,1),(2,2)\}\)C.\(\{(1,0),(0,1)\}\)D.\(\{(1,2),(2,1)\}\)

【答案】C

【解析】A中向量线性相关，B中向量线性相关，C中向量线性无关，D中向量线性相关。

4.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\)

【答案】C

【解析】正交矩阵的列向量是单位正交向量。A、B、D不满足正交条件，只有C满足。

5.下列哪个是特征值的多项式？（）（2分）

A.\(x^2-4\)B.\(x^2+4\)C.\(x^2-1\)D.\(x^2+1\)

【答案】A

【解析】特征值是矩阵的特征多项式的根，A的特征多项式为\(x^2-4\)。

6.下列哪个向量是矩阵\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)的特征向量？（）（2分）

A.\(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

【答案】A

【解析】特征向量满足\(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\)，只有A满足。

7.下列哪个是线性空间的子空间？（）（2分）

A.\(\mathbb{R}^2\)B.\(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x=y\}\)C.\(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x+y=1\}\)D.\(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x=0\}\)

【答案】D

【解析】只有D是线性空间的子空间。

8.下列哪个是线性变换？（）（2分）

A.\(T(x,y)=(x^2,y^2)\)B.\(T(x,y)=(x,y)\)C.\(T(x,y)=(x+y,x-y)\)D.\(T(x,y)=(x,y^3)\)

【答案】C

【解析】只有C满足线性变换的定义。

9.下列哪个是欧氏空间的正交基？（）（2分）

A.\(\{(1,0),(0,1)\}\)B.\(\{(1,1),(1,-1)\}\)C.\(\{(1,2),(2,1)\}\)D.\(\{(1,1),(2,2)\}\)

【答案】B

【解析】只有B中的向量是正交的。

10.下列哪个是有限维线性空间的基？（）（2分）

A.\(\{(1,0),(0,1)\}\)B.\(\{(1,1),(1,-1)\}\)C.\(\{(1,2),(2,1)\}\)D.\(\{(1,1),(2,2)\}\)

【答案】A

【解析】只有A是线性无关且生成整个空间的向量组。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵的特征值的多项式？（）

A.\(x^2-4\)B.\(x^2+4\)C.\(x^2-1\)D.\(x^2+1\)

【答案】A、C

【解析】特征值的多项式是矩阵的特征多项式，A和C是实系数多项式，可能有实根。

2.以下哪些向量是线性无关的？（）

A.\(\{(1,0),(0,1)\}\)B.\(\{(1,1),(2,2)\}\)C.\(\{(1,0),