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2025年吉林（专升本）高数二练习题及答案

一、填空题

1.设函数\(f(x)=\ln(x^2+1)\)，则\(f(0)\)的值为______。

答案：2

解析：由\(f(x)=\ln(x^2+1)\)，求导得\(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\)，再求导得\(f(x)=\frac{2(1x^2)}{(x^2+1)^2}\)。代入\(x=0\)得\(f(0)=2\)。

2.设\(a_n=\frac{1}{2^n}\)，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)的收敛区间为______。

答案：\((1,1)\)

解析：由比值法，计算\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\)，故级数的收敛区间为\((1,1)\)。

3.设\(y=\arcsin(e^x)\)，则\(\frac{dy}{dx}\)的值为______。

答案：\(\frac{e^x}{\sqrt{1e^{2x}}}\)

解析：由\(y=\arcsin(e^x)\)，求导得\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1e^{2x}}}\cdote^x=\frac{e^x}{\sqrt{1e^{2x}}}\)。

4.设\(z=x^2+y^2\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)的值为______。

答案：2x

解析：由\(z=x^2+y^2\)，对\(x\)求偏导得\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)。

二、选择题

1.设函数\(f(x)=e^x\)，则下列命题正确的是（）

A.\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极小值

B.\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极大值

C.\(f(x)\)在\(x=0\)处没有极值

D.无法判断

答案：C

解析：\(f(x)=e^x\)，在\(x=0\)处，\(f(0)=1\)，且\(f(x)\)在\(x=0\)处不等于0，所以\(f(x)\)在\(x=0\)处没有极值。

2.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则下列命题正确的是（）

A.\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)

B.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)存在

C.\(\lim_{n\to\infty}a_n\)不存在

D.无法判断

答案：A

解析：根据级数收敛的定义，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。

三、解答题

1.求函数\(f(x)=x^33x^2+4\)在区间\([0,3]\)上的最大值和最小值。

答案：最大值为\(f(3)=2\)，最小值为\(f(0)=4\)。

解析：求导得\(f(x)=3x^26x\)，令\(f(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。计算\(f(0),f(2),f(3)\)的值，比较大小得最大值和最小值。

2.设级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\)求和。

答案：\(\frac{3}{4}\)

解析：设\(S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\)，则\(\frac{1}{3}S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n1}{3^n}\)。两式相减得\(\frac{2}{3}S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\)，计算得\(S=\frac{3}{4}\)。

3.求解微分方程\(y2y+y=e^x\)。

答案：\(y=e^x+ce^x+de^{x}\)

解析：特征方程为\(r^22r+1=0\)，解得\(r=1\)（重根）。设特解为